Απόνερα πανελλαδικών

KARKAR · #1

: Απόνερα.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 2221 φορές

Για τις ρίζες $x_{1} , x_{2}$ της

, αποδείχθηκε ότι : $x_{1} + x_{2}>2$ .

Δείξτε το ελαφρά ισχυρότερο : $x_{1} + x_{2}>1+\ell n3$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 07, 2022 1:17 pm
Απόνερα.png Για τις ρίζες $x_{1} , x_{2}$ της , αποδείχθηκε ότι : $x_{1} + x_{2}>2$ .

Δείξτε το ελαφρά ισχυρότερο : $x_{1} + x_{2}>1+\ell n3$ .

Λύση: Για το εμβαδό [ABC]

του τριγώνου με κορυφές A(x_1,0)

,

και

έχουμε

$[ABC]=\dfrac{1}{2}(x_2-x_1)(-f(1))$ ,

αφού έχει βάση μήκους (AB)=x_2-x_1

και ύψος

.

Λόγω της κυρτότητας της

, το τρίγωνο περιέχεται στο παραπάνω χωρίο μεταξύ της γραφικής παράστασης της

και του

οπότε

,

δηλ.

$\dfrac{1}{2}(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)>\dfrac{1}{2}(x_2-x_1)(-f(1))$

και άρα

$x_1+x_2-2>-(1-\ln 3)$

από όπου έπεται ότι

$x_1+x_2>1+\ln 3$ .

****************************************************
Ας μου επιτραπεί να προτείνω και την ανισότητα

$x_1+x_2<\ln 9$ .
****************************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 07, 2022 1:28 pm

****************************************************
Ας μου επιτραπεί να προτείνω και την ανισότητα

$x_1+x_2<\ln 9$ .
****************************************************

Και αυτό άμεσο από την ανισότητα λογαριθμικού-γεωμετρικού μέσου.

Είναι $\displaystyle{x_1=\ln (3x_1), x_2=\ln (3x_2)}$ ,

οπότε $\displaystyle{\sqrt{x_1x_2}<\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1.}$

#4

matha έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 07, 2022 7:54 pm

achilleas έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 07, 2022 1:28 pm

****************************************************
Ας μου επιτραπεί να προτείνω και την ανισότητα

$x_1+x_2<\ln 9$ .
****************************************************

Και αυτό άμεσο από την ανισότητα λογαριθμικού-γεωμετρικού μέσου.

Είναι $\displaystyle{x_1=\ln (3x_1), x_2=\ln (3x_2)}$ ,

οπότε $\displaystyle{\sqrt{x_1x_2}<\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1.}$

Πράγματι! Αυτός είναι ο ένας τρόπος που είχα στον νου μετά από την ανάρτηση εδώ.

Έχω κι άλλον έναν, όμως.

Αχιλλέας

#5

Καλημέρα σας!

Η μέγιστη τιμή της συνάρτηση |f|

στο

είναι η

Άρα

$E=\int_{x_1}^{x_2}|f(x)|dx<(x_2-x_1)|f(1)|$

οπότε

$\dfrac{1}{2}(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)<(x_2-x_1)(\ln3-1).$

Απλοποιώντας προκύπτει το ζητούμενο.

Πρόσθεσα ένα απόλυτο.

#6

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 08, 2022 9:21 am
Καλημέρα σας!

Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο είναι η Άρα

$E=\int_{x_1}^{x_2}|f(x)|dx<(x_2-x_1)|f(1)|$

οπότε

$\dfrac{1}{2}(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)<(x_2-x_1)(\ln3-1).$

Απλοποιώντας προκύπτει το ζητούμενο.

Ωραία! Ουσιαστικά αυτός είναι ο δεύτερος τρόπος που είχα στον νου.

Λόγω του ολικού ελάχιστου της

, το χωρίο μεταξύ της γραφικής παράστασης της

και του

περιέχεται στο ορθογώνιο με άκρα τα σημεία A(x_1,0)

,

, το οποίο έχει εμβαδό (x_2-x_1)(-f(1))

, κτλ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Απόνερα πανελλαδικών

Απόνερα πανελλαδικών

Re: Απόνερα πανελλαδικών

Re: Απόνερα πανελλαδικών

Re: Απόνερα πανελλαδικών

Re: Απόνερα πανελλαδικών

Re: Απόνερα πανελλαδικών

Μέλη σε σύνδεση