Δυνατή

FERMA · #1

Δεν είμαι σίγουρος αν πρέπει να την βάλω σε αυτό τον φάκελο την άσκηση αλλά μου άρεσε και έχω βρει μια λύση που σχετίζεται με την ύλη της Γ.

Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής και θετική στο [a,b]

και

το άνω φράγμα της να δείξετε ότι:

$\lim_{n->+\propto } \sqrt[n]{\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}} =m$

#2

FERMA έγραψε:Δεν είμαι σίγουρος αν πρέπει να την βάλω σε αυτό τον φάκελο την άσκηση αλλά μου άρεσε και έχω βρει μια λύση που σχετίζεται με την ύλη της Γ.

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και θετική στο και το άνω φράγμα της να δείξετε ότι:

$\lim_{n->+\propto } \sqrt[n]{\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}} =m$

Καλησπέρα.
Όταν λέτε "άνω φράγμα" μήπως εννοείτε το μέγιστο της συνάρτησης;

#3

FERMA έγραψε:Δεν είμαι σίγουρος αν πρέπει να την βάλω σε αυτό τον φάκελο την άσκηση αλλά μου άρεσε και έχω βρει μια λύση που σχετίζεται με την ύλη της Γ.

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και θετική στο και το άνω φράγμα της να δείξετε ότι:

$\lim_{n->+\propto } \sqrt[n]{\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}} =m$

Τα όρια ακολουθιών είναι εκτός ύλης, αλλά η άσκηση είναι γνωστή. Όταν κάποτε τα όρια ακολουθιών και ο εψιλοντικός ορισμός του ορίου ήταν εντός ύλης, η άσκηση αυτή ήταν στάνταρ σε όλα τα βιβλία.

Εκλαμβάνω την άσκηση (όπως επισημαίνει ο Χρήστος) με

την μέγιστη τιμή της

.

Είναι $\displaystyle{ \int_{a}^b{f^n(x)}{dx} \le \int_{a}^b{m^n}{dx} =m^n(b-a)}$ . Επίσης, αν m=f(x_0)

και $\epsilon >0$ τότε υπάρχει διάστημα $[c, d]\subset [a, \, b]$ που περιέχει το x_0

τέτοιο ώστε στο διάστημα αυτό να ισχύει $f(x) \ge m-\epsilon$ .

Είναι τότε $\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}\ge \int_{c}^d{f^n(x)}{dx}\ge \int_{c}^d{(m-\epsilon)^n}{dx}= (m-\epsilon)^n(d-c)$ .

Παίρνοντας νιοστή ρίζα έχουμε $\displaystyle{ (m-\epsilon) \sqrt [n]{d-c} \le \sqrt[n]{\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}} \le m \sqrt [n]{b-a}}$ .
Τώρα, αφού $\displaystyle{ \sqrt [n]{d-c} \to 1, \sqrt [n]{b-a}\to 1}$ , οι αμέσως παραπάνω ανισότητες δίνουν για

μεγαλύτερο ή ίσο από ένα n_0

και πέρα

$\displaystyle{ m-2\epsilon \le \sqrt[n]{\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}} \le m+\epsilon }$ από όπου εύκολα το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

FERMA · #4

chris_gatos έγραψε:
FERMA έγραψε:Δεν είμαι σίγουρος αν πρέπει να την βάλω σε αυτό τον φάκελο την άσκηση αλλά μου άρεσε και έχω βρει μια λύση που σχετίζεται με την ύλη της Γ.

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και θετική στο και το άνω φράγμα της να δείξετε ότι:

$\lim_{n->+\propto } \sqrt[n]{\int_{a}^b{f^n(x)}{dx}} =m$
Καλησπέρα.
Όταν λέτε "άνω φράγμα" μήπως εννοείτε το μέγιστο της συνάρτησης;

Ακριβώς.

#5

FERMA έγραψε:... έχω βρει μια λύση που σχετίζεται με την ύλη της Γ.

Θα χαρούμε να τη δούμε, έστω σε περίληψη.

Μ.

Δυνατή

Δυνατή

Re: Δυνατή

Re: Δυνατή

Re: Δυνατή

Re: Δυνατή

Μέλη σε σύνδεση