...Εξίσωση ...

maiksoul · #1

Έστω οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας και για τις οποίες ισχύει : $f^{3}(x)-f^{2}(x)+f(x)=\left | g(x) \right |\;\;\;\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$
Να λυθεί η εξίσωση: $\left | g(x)+2g(x^{2})+1\right |-\left | 2g(x) \right |=\left | g(x^{2})+1 \right |$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θα απαντήσω αν και θεωρώ ότι τέτοιες ασκήσεις δεν υπηρετούν τον σκοπό για τον οποίο έχουν γίνει.

Η λύση στηρίζεται σε δύο πράγματα που διαισθητικά είναι προφανή .

1)Αν οι συναρτήσεις $g(x),\left | g(x) \right |$ έχουν το ίδιο είδος γνήσιας μονοτονίας τότε $g(x)\geq 0$
(από ένα σχήμα φαίνεται αμέσως)

2)Αν η

είναι γνησίως αύξουσα και

μονότονη τότε η hof

έχει το ίδιο είδος
μονοτονίας με την

Αν θέσουμε $h(x)=x^{3}-x^{2}+x$ τότε $h'(x)=3x^{2}-2x+1> 0$

Αρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

Η δοσμένη σχέση γράφεται $h(f(x))=\left | g(x) \right |$

Με βάση τα 1,2 οι συναρτήσεις $f,g,\left | g \right |$ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας οπότε
$g(x)\geq 0$

Ετσι η δεύτερη σχέση γίνεται $g(x)=g(x^{2})$ και λόγω του 1-1
έχουμε x=0,1

...Εξίσωση ...

...Εξίσωση ...

Re: ...Εξίσωση ...

Μέλη σε σύνδεση