Μονίμως θετικό πολυώνυμο

#1

Με αφορμή αυτό -- και την όμορφη συζήτηση περί αυτού -- αντιπροτείνω:

x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28>0

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 12, 2021 8:18 pm
Με αφορμή αυτό -- και την όμορφη συζήτηση περί αυτού -- αντιπροτείνω:

Θα το κάνω για $x\geq 0$

1περίπτωση
x> 1

Η

γράφεται

Αλλά
$4x^4+9\geq 12x^2$
οπότε αρκεί να δείξουμε
x^6+4x^5+19>24x

θέτουμε

και

για $x\geq 1$

Αρα g(x)>0

για

και τελειώσαμε

2περίπτωση
$0\leq x\leq 1$
θέτουμε
f(x)=x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28

Είναι

Για $0\leq x\leq 1$
είναι
$6x^5+20x^4+16x^3-24x-24 \leq 6x+20x+16x-24x-24=18x-24 \leq 0$

Aρα η

είναι φθίνουσα στο [0,1]

οπότε θετική σε αυτό.

Ουσιαστικά μετέφερα την λύση από το αυτό

Αργότερα θα γράψω και λύση για τα αρνητικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για τα αρνητικά

αρκεί να αποδείξουμε ότι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28>0

για $x\geq 0$

1 περίπτωση
$0\leq x\leq 1$
Γραφοντας την
x^6+4x^4+24x+28>4x^5+12x^2

είναι προφανής .

2 περίπτωση
$1\leq x\leq 2$
Είναι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28=x^4(x-2)^2-12x^2+24x+28

$\geq x^4(x-2)^2-12x^2+24+28=x^4(x-2)^2+52-12x^2> 0$

3 περίπτωση
$2\leq x\leq 3$

Είναι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28=(x^4-12)(x-2)^2-24(x-2)+28

$\geq 4(x-2)^2-24(x-2)+28=4((x-2)^2-6(x-2)+7)> 0$

αφου $0\leq x-2\leq 1$

4 περίπτωση
$3\leq x$

Είναι
x^6-4x^5+4x^4-12x^2+24x+28=x^4(x-2)^2-12x^2+24x+28

$\geq x^4-12x^2+3.24+28> x^4-12x^2+36> 0$

#4

Η δική μου απόδειξη (με ομοιότητες και διαφορές από αυτήν του αρχικού θέματος):

Λόγω της x^6+4x^5+4x^4-12x^2-24x+28=x^4(x+2)^2=x^4(x+2)^2-12x(x+2)+28

συμπεραίνουμε, λόγω της διακρίνουσας 16x^2(9-7x^2)

, ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για $|x|>\dfrac{3}{\sqrt{7}}$ . Θα αποδείξουμε τώρα, αξιοποιώντας 'εξ ίσου' και τον όρο x^6

, τις ανισότητες

x^6 + 8x^4 - 24x^2 + 16 > 0

για $x\in R$ και

x^6 + 8x^5 - 48x + 40 > 0

για $x\in \left[-\dfrac{3}{\sqrt{7}}, \dfrac{3}{\sqrt{7}}\right],$

από τις οποίες έπεται άμεσα η ζητούμενη ανισότητα ΚΑΙ για $|x|\leq \dfrac{3}{\sqrt{7}}$ .

Για την πρώτη ανισότητα αρκεί να αποδειχθεί η t^3+8t^2-24t+16>0

για

. Από την

προκύπτει η ύπαρξη τοπικού -- ολικού στο $(0, \infty)$ -- ελαχίστου στο $t=\dfrac{-8+2\sqrt{34}}{3}$ , όπου η τιμή της τριτοβάθμιας ισούται προς $\dfrac{3184-544\sqrt{34}}{27}>0$ .

Η δεύτερη ανισότητα ισχύει τετριμμένα για x<0

, καθώς

και $|x|\leq \dfrac{3}{\sqrt{7}}<6^{1/4}$ . Ισχύει επίσης για $0\leq x\leq 1$ επειδή η x^6+8x^5-48x+40

ισούται προς

για

και είναι φθίνουσα λόγω της (x^6+8x^5-48x+40)'=6x^5+40x^4-48<0

. Για το εναπομένον διάστημα, $\left(1, \dfrac{3}{\sqrt{7}}\right]$ , αρκεί να παρατηρηθεί ότι η εφαπτομένη y=-2x+3

της κυρτής συνάρτησης y=x^6+8x^5-48x+40

στο σημείο (1, 1)

λαμβάνει θετική τιμή στο $\dfrac{3}{\sqrt{7}}$ .

Μονίμως θετικό πολυώνυμο

Μονίμως θετικό πολυώνυμο

Re: Μονίμως θετικό πολυώνυμο

Re: Μονίμως θετικό πολυώνυμο

Re: Μονίμως θετικό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση