Καλή σε όλα της

KARKAR · #1

Για την συνάρτηση : $f(x)=x-\dfrac{2x}{2^x+1}$
α) Δείξτε ότι είναι άρτια .

β) Δείξτε ότι δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

γ) Μπορείτε να ισχυρισθείτε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $[0 , +\infty)$ ;
δ) Για την κυρτότητα ας μην μιλήσουμε

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 8:36 am
Για την συνάρτηση : $f(x)=x-\dfrac{2x}{2^x+1}$
α) Δείξτε ότι είναι άρτια .

β) Δείξτε ότι δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

γ) Μπορείτε να ισχυρισθείτε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $[0 , +\infty)$ ;
δ) Για την κυρτότητα ας μην μιλήσουμε

$\displaystyle f(x) = \frac{{x({2^x} - 1)}}{{{2^x} + 1}}, x\in \mathbb {R}.$

α) Για κάθε $x\in \mathbb {R}$ είναι $-x\in \mathbb {R}$ και $\displaystyle f( - x) = \dfrac{{ - x\left( {\dfrac{1}{{{2^x}}} - 1} \right)}}{{\dfrac{1}{{{2^x}}} + 1}} = \dfrac{{ - x(1 - {2^x})}}{{{2^x} + 1}} = \dfrac{{x({2^x} - 1)}}{{{2^x} + 1}} = f(x),$
που σημαίνει ότι η

είναι άρτια.

β) Αν x>0

τότε $\displaystyle {2^x} - 1 > 0,$ άρα f(x)>0.

Αν πάλι

τότε $\displaystyle {2^x} - 1 < 0,$ άρα και πάλι f(x)>0.

Εξάλλου,

οπότε $f(x)\ge 0,$ για κάθε $x\in \mathbb {R}.$

γ) $\displaystyle f'(x) = \frac{{({4^x} - 1) + {2^{x + 1}}x\ln 2}}{{{{({2^x} + 1)}^2}}} > 0,$ για κάθε x>0

κι επειδή η

είναι συνεχής στο $[0,+ \infty)$

θα είναι γνησίως αύξουσα. (Επειδή μυρίζομαι παγίδα

θα το ελέγξω ξανά).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 21, 2022 8:36 am
Για την συνάρτηση : $f(x)=x-\dfrac{2x}{2^x+1}$
α) Δείξτε ότι είναι άρτια .

β) Δείξτε ότι δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

γ) Μπορείτε να ισχυρισθείτε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $[0 , +\infty)$ ;
δ) Για την κυρτότητα ας μην μιλήσουμε

$f(x) = x - \dfrac{{2x}}{{1 + {2^x}}} = x\dfrac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}}$ με $x \in \mathbb{R}$ .

α) για κάθε $x \in \mathbb{R}\,\,\kappa \alpha \iota \,\, - x \in \mathbb{R}\,$ και $f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\dfrac{{{2^{ - x}} - 1}}{{{2^{ - x}} + 1}} = \left( { - x} \right)\dfrac{{{2^x}\left( {{2^{ - x}} - 1} \right)}}{{{2^x}\left( {{2^{ - x}} + 1} \right)}} = x\dfrac{{{2^x} - 1}}{{{2^x} + 1}} = f\left( x \right)$ . Άρα η

άρτια .

: καλή σε όλα της.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

β) $f\left( 0 \right) = 0$ . Αν x < 0

θα είναι ${2^x} - 1 < 0$ και άρα $f\left( x \right) > 0$ , ενώ αν x > 0

, θα είναι ${2^x} - 1 > 0$ οπότε πάλι , $f\left( x \right) > 0$ .

γ) $f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^{2x}} + \left( {x\ln 2} \right){2^{x + 1}} - 1}}{{{{\left( {1 + {2^x}} \right)}^2}}}$ . Με $x \in \mathbb{R}$

Το πρόσημο της παραγώγου εξαρτάται από το πρόσημο του αριθμητή . Έστω λοιπόν

$g\left( x \right) = {2^{2x}} + \left( {x\ln 2} \right){2^{x + 1}} - 1\,\,,\,\,x \in \mathbb{R}$ . Είναι $g'\left( x \right) = {2^{2x + 1}} \cdot \ln 2 + {2^{x + 1}}\left( {{{\left( {x\ln 2} \right)}^2} + \ln 2} \right)$

Επειδή η

συνεχής στο $[0, + \infty )$ και για κάθε x > 0

είναι $g'\left( x \right) > 0$ , η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, + \infty )$ .

Είναι $g\left( 0 \right) = 0$ άρα για x > 0

θα είναι $g\left( x \right) > 0$ οπότε και $f'\left( x \right) > 0$ .

Η

συνεχής στο

και για

, $f'\left( x \right) > 0$ , μας εξασφαλίζει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, + \infty )$ .

#4

$\displaystyle{a>b\ge 0}$
$\displaystyle{2^a+1>2^b+1}$
$\displaystyle{1/2^a+1 <1/2^b+1 }$
$\displaystyle{-2a/(2^a+1)>-2b(2^b+1)}$
$\displaystyle{a-2a/(2^a+1)>b-2b/(2^b+1)}$
$\displaystyle{f(a)>f(b) }$ , $\displaystyle{f(0)=0}$
f γν αύξουσα

τα 2 πρώτα ερωτήματα βγαίνουν με απλές πράξεις
ΓΙΑΤΙ είναι ΣΕ ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΦΑΚΕΛΛΟ?

Καλή σε όλα της

Καλή σε όλα της

Re: Καλή σε όλα της

Re: Καλή σε όλα της

Re: Καλή σε όλα της

Μέλη σε σύνδεση