Συνάρτηση και εύρεση τιμής !

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5353
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Συνάρτηση και εύρεση τιμής !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Οκτ 23, 2010 9:13 am

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το \mathbb R και f(1)=1 έχει την ιδιότητα :

f(x+y)+f(x-y) =2[f(x)+f(y)] , για κάθε x,y \in \mathbb R

Να υπολογιστεί ο αριθμός \displaystyle f(\frac {22}{7}).

Μπάμπης


ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 145
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 03, 2010 2:43 pm

Re: Συνάρτηση και εύρεση τιμής !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Σάβ Οκτ 23, 2010 3:12 pm

Με λίγες επεξηγήσεις αποδεικνύουμε σταδιακά :
f(0) = 0
f(2x) = 4f(x)
f(3x) = 9f(x)
f(nx) = n^2\cdot f(x) για κάθε n φυσικό
\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right) =\frac{1}{n^2} για κάθε n φυσικό , διάφορο του 0
οπότε\displaystyle f\left(\frac{22}{7}\right) =f\left(22\cdot\frac{1}{7}\right)=\frac{22^2}{7^2}

και ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος!!
τελευταία επεξεργασία από k-ser σε Πέμ Οκτ 28, 2010 10:32 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Γράφτηκαν τα μαθηματικά σύμβολα με Latex


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Συνάρτηση και εύρεση τιμής !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Οκτ 23, 2010 3:28 pm

Άς κάνω μια προσπάθεια..

Άν στην συναρτησιακή σχέση θέσω όπου x=y=0 θα λάβω \displaystyle f\left(0 \right)=0\

Aκόμη άν θέσω όπου \displaystyle x το \displaystyle x και όπου y το -x θα λάβω:

\displaystyle f\left(2x \right)+f\left(0 \right)=2\left(f\left(x \right)+f\left(-x \right) \right) (3)


Aκόμη άν θέσω όπου \displaystyle x το \displaystyle -x και όπου y το x

θα λάβω: \displaystyle f\left(0 \right)+f\left(-2x \right)=2\left(f\left(x \right)+f\left(-x \right) \right)

Άρα:\displaystyle f\left(-2x \right)=f\left(2x \right)\Rightarrow \boxed{f\left(2x \right)=4f\left(x \right),\forall{x\in\mathbb{R}}}

αφού είναι άρτια για -χ ,χ οι τιμές θα είναι ίδιες

Άν στην δοσμένη θέσω όπου όπου \displaystyle x το \displaystyle (x-y)/2 και όπου y το (y+x)/2 θα λάβω

\displaystyle f\left(x \right)+f\left(y \right)=2\left[f\left(\frac{x-y}{2} \right)+f\left(\frac{x+y}{2} \right) \right]=\frac{1}{2}\left[f\left(x-y \right) +f\left(x+y \right)\right]\Rightarrow

\displaystyle \boxed{f\left(x \right)+f\left(y \right)=\frac{1}{2}\left[f\left(x-y \right)+f\left(x+y \right) \right]}


αφού γενικά ισχύει: \displaystyle f\left(t \right)=4f\left(\frac{t}{2} \right)

Έτσι στην τελευταία για \displaystyle x=\frac{11}{7},y=\frac{4}{7} θα λάβω:

\displaystyle f\left(\frac{11}{7} \right)+f\left(\frac{4}{7} \right)=\frac{1}{2}\left[f\left(1 \right)+f\left(\frac{15}{7} \right) \right]\Rightarrow 2f\left(\frac{11}{7} \right)=1+f\left(\frac{15}{7} \right)-2f\left(\frac{4}{7} \right)

Έτσι στην τελευταία για \displaystyle x=\frac{8}{7},y=1 θα λάβω:

\displaystyle  f\left(\frac{8}{7} \right)+f\left(1 \right)=\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{15}{7} \right)+f\left(\frac{1}{7} \right) \right]\Rightarrow 2f\left(\frac{8}{7} \right)+2-f\left(\frac{1}{7} \right)=f\left(\frac{15}{7} \right)

Έτσι:

\displaystyle 2f\left(\frac{11}{7} \right)=3+2f\left(\frac{8}{7} \right)-f\left(\frac{1}{7} \right)-2f\left(\frac{4}{7} \right)=3+\frac{95b}{64},b=f\left(\frac{8}{7} \right)

Όμως:

\displaystyle 2f\left(\frac{3}{7} \right)+2f\left(\frac{1}{7} \right)=f\left(\frac{4}{7} \right)+f\left(\frac{2}{7} \right)\Leftrightarrow 2f\left(\frac{3}{7} \right)=\frac{b}{16}+\frac{b}{4}-\frac{b}{32}=\frac{9b}{32}\Rightarrow f\left(\frac{3}{7} \right)=\frac{9b}{64}

Ακόμη:\displaystyle 2f\left(\frac{4}{7} \right)+2f\left(1 \right)=f\left(\frac{11}{7} \right)+f\left(\frac{3}{7} \right)\Leftrightarrow \frac{b}{2}+2=3/2+\frac{95b}{128}+\frac{9b}{64}\Leftrightarrow  b=\frac{64}{49}

άρα υπολογίζουμε τώρα εύκολα την τιμή του \displaystyle f(22/7)

H οπoία είναι: \displaystyle f\left(\frac{22}{7} \right)=4f\left(\frac{11}{7} \right)=6+\frac{190}{49}=\frac{484}{49}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης