Συναρτησιακή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sorfan » Πέμ Ιαν 06, 2011 1:07 pm

Μάλλον ταιριάζει εδώ.
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τις ιδιότητες:
f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(f\left(x \right) \right) για κάθε x\in R (1)
και
2\left[f\left(g\left(x \right) \right) \right]^{4}+2=\left(g\left(x \right) \right)^{4}+g\left(x \right)^{3} για κάθε x\in R (2).
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει c\in R τέτοιο, ώστε f\left(c \right)=c.


Σπύρος
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Ιαν 06, 2011 1:43 pm

Ας δουλέψουμε με απαγωγή σε άτοπο υποθέτοντας ότι υπάρχει c \in \mathbb{R} ώστε f(c)=c.

Τότε η (1) για x=c δίνει f(g(c))=g(f(c))=g(c)

Άρα η (2) γράφεται [g(c)]^4+2=(g(x))^3 \Rightarrow [g(c)]^4+1=(g(c))^3-1 \Rightarrow (g(c))^3>1 \Rightarrow g(c)>1

\Rightarrow (g(c))^4>(g(c))^3 \Rightarrow (g(c))^4+2>(g(c))^3\Rightarrow (g(c))^3>(g(c))^3, άτοπο.

Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Ιαν 06, 2011 1:57 pm

Έστω \displaystyle{f(c)=c}
Τότε \displaystyle{f(g(c))=g(f(c))=g(c)}
Ακόμη \displaystyle{2[f(g(c))]^4+2=g(c)^4+g(c)^3} οπότε \displaystyle{2[g(c)^4+2=g(c)^4+g(c)^3}
Άρα το πολυώνυμο \displaystyle{p(x)=x^4+2-x^3} θα έπρεπε να ἐχει μία τουλάχιστον ρίζα r
Επειδή \displaystyle{r^4+1=r^3-1} θα έπρεπε \displaystyle{r>1}
όμως \displaystyle{ p'(x)=4x^3-3x^2>0} για \displaystyle{x>1} και \displaystyle{p(1)>0} αρα το πολυωνυμο δεν έχει ρίζα στο R άτοπο


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης