Συναρτησιακή

sorfan · #1

Μάλλον ταιριάζει εδώ.
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τις ιδιότητες:
$f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(f\left(x \right) \right)$ για κάθε $x\in R$ (1)
και
$2\left[f\left(g\left(x \right) \right) \right]^{4}+2=\left(g\left(x \right) \right)^{4}+g\left(x \right)^{3}$ για κάθε $x\in R$ (2).
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει $c\in R$ τέτοιο, ώστε $f\left(c \right)=c$ .

#2

Ας δουλέψουμε με απαγωγή σε άτοπο υποθέτοντας ότι υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ ώστε f(c)=c

.

Τότε η (1) για x=c

δίνει

Άρα η (2) γράφεται $[g(c)]^4+2=(g(x))^3 \Rightarrow [g(c)]^4+1=(g(c))^3-1 \Rightarrow (g(c))^3>1 \Rightarrow g(c)>1$

$\Rightarrow (g(c))^4>(g(c))^3 \Rightarrow (g(c))^4+2>(g(c))^3\Rightarrow (g(c))^3>(g(c))^3$ , άτοπο.

Φιλικά

#3

Έστω $\displaystyle{f(c)=c}$
Τότε $\displaystyle{f(g(c))=g(f(c))=g(c)}$
Ακόμη $\displaystyle{2[f(g(c))]^4+2=g(c)^4+g(c)^3}$ οπότε $\displaystyle{2[g(c)^4+2=g(c)^4+g(c)^3}$
Άρα το πολυώνυμο $\displaystyle{p(x)=x^4+2-x^3}$ θα έπρεπε να ἐχει μία τουλάχιστον ρίζα r
Επειδή $\displaystyle{r^4+1=r^3-1}$ θα έπρεπε $\displaystyle{r>1}$
όμως $\displaystyle{ p'(x)=4x^3-3x^2>0}$ για $\displaystyle{x>1}$ και $\displaystyle{p(1)>0}$ αρα το πολυωνυμο δεν έχει ρίζα στο R άτοπο

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση