Σταθερή συνάρτηση
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Σταθερή συνάρτηση
Από Νίκο Ζανταρίδη(nikozan)
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση
ισχύει:
για κάθε
και για κάποιο ισχύει:
Να δειχθεί ότι: για κάθε
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση
ισχύει:
για κάθε
και για κάποιο ισχύει:
Να δειχθεί ότι: για κάθε
-
- Δημοσιεύσεις: 410
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή συνάρτηση
Με μαθηματικά Λυκείου :
Από υπόθεση , προκύπτει ότι για κάθε ισχύει
(1)
Έστω δύο διαδοχικές θέσεις μηδενισμού της f(x) , με .
Τότε (Θ. Rolle) υπάρχει τέτοιο ώστε .
Τότε όμως , λόγω της (1) θα είναι και , που είναι άτοπο.
Επόμένως , το μοναδικό σημείο μηδενισμού της είναι το .
Οπότε για κάθε θα είναι (π.χ.)
και ομοίως για κάθε θα είναι (π.χ.) .
Επομένως έχουμε :
και συνεπώς .
Όμοια προκύπτει και στο
Άρα τελικά
ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
Έχει γινει διόρθωση της παραπάνω λύσης , σε μερικά λεπτά σημεία. Βλέπε (συμπλήρωση)
παρακάτω.
Από υπόθεση , προκύπτει ότι για κάθε ισχύει
(1)
Έστω δύο διαδοχικές θέσεις μηδενισμού της f(x) , με .
Τότε (Θ. Rolle) υπάρχει τέτοιο ώστε .
Τότε όμως , λόγω της (1) θα είναι και , που είναι άτοπο.
Επόμένως , το μοναδικό σημείο μηδενισμού της είναι το .
Οπότε για κάθε θα είναι (π.χ.)
και ομοίως για κάθε θα είναι (π.χ.) .
Επομένως έχουμε :
και συνεπώς .
Όμοια προκύπτει και στο
Άρα τελικά
ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
Έχει γινει διόρθωση της παραπάνω λύσης , σε μερικά λεπτά σημεία. Βλέπε (συμπλήρωση)
παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από G.Tsikaloudakis σε Σάβ Ιαν 22, 2011 8:29 pm, έχει επεξεργασθεί 11 φορές συνολικά.
Γιώργος Τσικαλουδάκης
Re: Σταθερή συνάρτηση
Νίκο έχεις δίκιο η προηγούμενη απόδειξη ήταν λάθος(την σβύνω)
Να μια άλλη διαφορετική από του Σπύρου και του Γιώργου
Έστω ότι υπάρχει πχ
ας φανταστούμε το “πρώτο “ c που δεν ισχύει το ζητούμενο δηλαδή
υπάρχει
Στο (c,b] λοιπόν η δεν έχει ρίζα αρα η είναι γνησια μονότονη και μάλιστα γνήσια αυξουσα αφού και
Άρα και επειδή παίρνουμε
έχουμε όμως ότι και μόλις πριν δείξαμε ότι
Επομένως ή με αφού συνεχής που τελικά δίνει οπότ αντίφαση
Να μια άλλη διαφορετική από του Σπύρου και του Γιώργου
Έστω ότι υπάρχει πχ
ας φανταστούμε το “πρώτο “ c που δεν ισχύει το ζητούμενο δηλαδή
υπάρχει
Στο (c,b] λοιπόν η δεν έχει ρίζα αρα η είναι γνησια μονότονη και μάλιστα γνήσια αυξουσα αφού και
Άρα και επειδή παίρνουμε
έχουμε όμως ότι και μόλις πριν δείξαμε ότι
Επομένως ή με αφού συνεχής που τελικά δίνει οπότ αντίφαση
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Παρ Ιαν 21, 2011 1:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Σταθερή συνάρτηση
Ας δούμε και αυτή την προσέγγιση :
Έστω ότι για κάποιο ισχύει και χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι
Ονομάζουμε το ευρύτερο δυνατό ανοικτό διάστημα που περιέχει το και για το οποίο ισχύει
Προφανώς τέτοιο διάστημα υπάρχει, λογω της συνέχειας της και επίσης προφανώς αν το διάστημα είναι το
θα ισχύει
Η συνάρτηση στο διάστημα δεν αλλάζει πρόσημο, γιατί σε αντίθετη περίπτωση (επειδή η
παράγωγος έχει την ιδιότητα Darboux) θα υπήρχε ώστε , άρα από τη δοθείσα
σχέση βρίσκουμε ότι , άτοπο.
Υποθέτουμε, λοιπόν, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι
Τότε η δοθείσα δίνει
Άρα , άτοπο.
Έστω ότι για κάποιο ισχύει και χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι
Ονομάζουμε το ευρύτερο δυνατό ανοικτό διάστημα που περιέχει το και για το οποίο ισχύει
Προφανώς τέτοιο διάστημα υπάρχει, λογω της συνέχειας της και επίσης προφανώς αν το διάστημα είναι το
θα ισχύει
Η συνάρτηση στο διάστημα δεν αλλάζει πρόσημο, γιατί σε αντίθετη περίπτωση (επειδή η
παράγωγος έχει την ιδιότητα Darboux) θα υπήρχε ώστε , άρα από τη δοθείσα
σχέση βρίσκουμε ότι , άτοπο.
Υποθέτουμε, λοιπόν, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι
Τότε η δοθείσα δίνει
Άρα , άτοπο.
Σπύρος Καπελλίδης
Re: Σταθερή συνάρτηση
Σπυρο πολυ ωραια λυση.
Θελω να τονισω , οτι υπαρχει τροπος να λυθει με υλη λυκειου.
Φιλικα Ν.Ζανταριδης.
Θελω να τονισω , οτι υπαρχει τροπος να λυθει με υλη λυκειου.
Φιλικα Ν.Ζανταριδης.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή συνάρτηση
Αν ορίσουμε και για κάθε πραγματικό τότε
και
για κάθε x.
Άρα η συνάρτηση Α είναι αύξουσα ενώ η Β είναι φθίνουσα.
Επίσης και Επομένως για κάθε είναι
οπότε και
Ομοίως για κάθε είναι ενώ ,
άρα και έπομένως
και
για κάθε x.
Άρα η συνάρτηση Α είναι αύξουσα ενώ η Β είναι φθίνουσα.
Επίσης και Επομένως για κάθε είναι
οπότε και
Ομοίως για κάθε είναι ενώ ,
άρα και έπομένως
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Re: Σταθερή συνάρτηση
Η λυση του Παυλου ειναι ακριβως στη λογικη της κατασκευης της ασκησης [με υλη λυκειου].
Ετσι δεν χρειαζεται να δωσω την δικη μου λυση ,αφου ταυτιζεται με του Παυλου.
Ετσι δεν χρειαζεται να δωσω την δικη μου λυση ,αφου ταυτιζεται με του Παυλου.
-
- Δημοσιεύσεις: 410
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή συνάρτηση
Νίκο καλημέρα.nikoszan έγραψε:Γιωργο και η δευτερη δεν ειναι ορθη.
Φιλικα Ν. Ζανταριδης
Νομίζω η τελευταία μου λύση είναι στα πλαίσια της Σχολικής ύλης.
και η προηγούμενη λύση είναι σωστή. Απλά δεν έγιαναν λεπτομερείς επεξηγήσεις.
Φιλικά Γιώργος.
Γιώργος Τσικαλουδάκης
Re: Σταθερή συνάρτηση
Πιστεύω ότι η ωραία λύση που έδωσε πιο πάνω ο Σπύρος μπορεί να τροποποιηθεί λίγο
ώστε να γίνει εντός ύλης. Στη λύση αυτή δεν χρησιμοποιείται ότι f(α) = 0
Γιώργος
ώστε να γίνει εντός ύλης. Στη λύση αυτή δεν χρησιμοποιείται ότι f(α) = 0
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σταθερή συνάρτηση
nikoszan έγραψε:<...> και η δευτερη δεν ειναι ορθη.
Γιώργο, το πρόβλημα στην λύση είναι εδώG.Tsikaloudakis έγραψε: <...> Νομίζω η τελευταία μου λύση είναι στα πλαίσια της Σχολικής ύλης.
και η προηγούμενη λύση είναι σωστή.
Δεν μπορούμε να μιλάμε για διαδοχικές ρίζες, ακόμα και για συναρτήσεις που έχουν διακριτές ρίζες (εννοώ όχι μόνο συναρτήσεις που οι ρίζες μπορεί να είναι διάστημα, όπως π.χ. η (ακέραιο μέρος του ). Εδώ οι ρίζες του είναι το διάστημα και άρα δεν υπάρχουν διαδοχικές ρίζες).G.Tsikaloudakis έγραψε:
Έστω δύο διαδοχικές θέσεις μηδενισμού της f(x) , με .
Τότε (Θ. Rolle) υπάρχει τέτοιο ώστε .
Τότε όμως , λόγω της (1) θα είναι και , που είναι άτοπο.
Π.χ. αν πάρουμε την
η ρίζα δεν έχει γειτονική: όποια άλλη ρίζα και αν πάρουμε, πάντα υπάρχει μία ρίζα γνήσια μεταξύ τους (οι ρίζες εδώ είναι της μορφής ). Οπότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε το άτοπο παραπάνω.
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή συνάρτηση
Χωρίς το σημείο μηδενισμού υπάρχουν τουλάχιστον άλλες δύο λύσεις, η και ηhsiodos έγραψε:Πιστεύω ότι η ωραία λύση που έδωσε πιο πάνω ο Σπύρος μπορεί να τροποποιηθεί λίγο
ώστε να γίνει εντός ύλης. Στη λύση αυτή δεν χρησιμοποιείται ότι f(α) = 0
Γιώργος
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Re: Σταθερή συνάρτηση
Καλημέρα.
Που έσφαλε η πρώτη απόδειξη του G.Tsikaloudakis που σβήστηκε;
(Αυτή με τη διαφορά τετραγώνων και τις περιπτώσεις f(x)=f'(x) και f(x)=-f'(x))
Που έσφαλε η πρώτη απόδειξη του G.Tsikaloudakis που σβήστηκε;
(Αυτή με τη διαφορά τετραγώνων και τις περιπτώσεις f(x)=f'(x) και f(x)=-f'(x))
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σταθερή συνάρτηση
Προφανώς την έσβησε μόνος του ο Γιώργος. Υποθέτω για τον εξής λόγο:ZITAVITA έγραψε:Καλημέρα.
Που έσφαλε η πρώτη απόδειξη του G.Tsikaloudakis που σβήστηκε;
(Αυτή με τη διαφορά τετραγώνων και τις περιπτώσεις f(x)=f'(x) και f(x)=-f'(x))
Από την ισότητα δεν μπορούμε εν γένει να συμπεράνουμε ότι ή (διότι για κάποια x μπορεί να ισχύει ενώ για τα υπόλοιπα ). Τέτοια είναι π.χ. η περίπτωση των
για κάθε και
Η αλήθεια είναι ότι για συνεχείς , το συμπέρασμα είναι σωστό. Όμως εδώ η δεν είναι κατ' ανάγκη συνεχής. Τυχαίνει ότι και σε αυτή την περίπτωση, της παραγώγου, το συμπέρασμα περιέργως είναι σωστό, αλλά η απόδειξή του περνά από την ιδιότητα Darboux (όπως στην απόδειξη του Σπύρου, παραπάνω).
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σταθερή συνάρτηση
Νίκο, έχεις δίκιο. Εννοούσα ισχύει ισότητα κατά διαστήματα.nikoszan έγραψε:Μιχαλη ,το συμπερασμα δεν ειναι σωστο ακομη και αν οι f,g ειναι συνεχεις.
Μ.
-
- Δημοσιεύσεις: 410
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή συνάρτηση
Από την ισότητα
(1),
για , με προκύπτει: , που
είναι άτοπο , αφού η f είναι συνεχής από το γνωστό θεώρημα ,
έχουμε ότι μια συνεχής συνάρτηση, διατηρεί προσημο , μεταξύ δύο διαδοχικών
ριζών της.
Προσοχή , εδώ μιλάμε για μηδενισμό της f , που προκύπτει από το μηδενίσμό της παραγωγου της,
λόγω της (1), κάτι που δε συμβαίνει (π.χ.) με τη συνάρτηση
(1),
για , με προκύπτει: , που
είναι άτοπο , αφού η f είναι συνεχής από το γνωστό θεώρημα ,
έχουμε ότι μια συνεχής συνάρτηση, διατηρεί προσημο , μεταξύ δύο διαδοχικών
ριζών της.
Προσοχή , εδώ μιλάμε για μηδενισμό της f , που προκύπτει από το μηδενίσμό της παραγωγου της,
λόγω της (1), κάτι που δε συμβαίνει (π.χ.) με τη συνάρτηση
τελευταία επεξεργασία από G.Tsikaloudakis σε Σάβ Ιαν 22, 2011 2:59 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος Τσικαλουδάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σταθερή συνάρτηση
Γιώργο, ίσως δεν έγινα κατανοητός.G.Tsikaloudakis έγραψε: έχουμε ότι μια συνεχής συνάρτηση, διατηρεί προσημο , μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της.
Αυτό που λέω είναι ότι δεν έχει νόημα να συζητάμε για διαδοχικές ρίζες συνεχούς συνάρτησης. Το παράδειγμα της που έδωσα είναι ακριβώς μία συνεχής συνάρτηση με την ιδιομορφία ότι υπάρχουν ρίζες που δεν έχουν γειτονική. Δηλαδή το άτοπο που λες, δεν είναι σωστό.
Μ.
-
- Δημοσιεύσεις: 410
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή συνάρτηση
Σωστές οι παρατηρήσεις των συναδέλφων, για τη λύση της άσκησης με τον παραπάνω τρόπο.
Παρακάμπτω λοιπόν την ύπαρξη διαδοχικών ριζών.
Δεν σβήνω τη λύση, για διδακτικούς λόγους και δίνω μια πλήρη λύση΅
Έστω ότι στο διάστημα ισχύει .
Τότε όμως η διατηρεί πρόσημο στο ,
Πράγματι, έστω ότι υπάρχουν
τέτοιοι ώστε
Η είναι συνεχής στο , οπότε υπάρχει
στο οπίο η παρουσιάζει μέγιστο.
Όμως έχουμε:
Οπότε (πρόσημο ορίου) είναι
και άρα . Οπότε (Θ. Fermat) και άρα (από 1)
που είναι άτοπο. Επομένως η διατηρεί πρόσημο στο
Οπότε , αν π.χ. είναι
τότε :
και άρα
Όμως τότε, λόγω της συνέχειας στο α , προκύπτεί c=0 ¨ που είναι άτοπο.
Άρα υπάρχει β>α τέτοιο ώστε .
Έστω το μικρότερο β για το οποίο είναι .
Τότε (Θ. Rolle) υπάρχει
που είναι άτοπο .
Όμοια , για ,
που είναι άτοπο.
Όμοια εραζόμενοι στο στο , βρισκουμε τελικά
Παρακάμπτω λοιπόν την ύπαρξη διαδοχικών ριζών.
Δεν σβήνω τη λύση, για διδακτικούς λόγους και δίνω μια πλήρη λύση΅
Έστω ότι στο διάστημα ισχύει .
Τότε όμως η διατηρεί πρόσημο στο ,
Πράγματι, έστω ότι υπάρχουν
τέτοιοι ώστε
Η είναι συνεχής στο , οπότε υπάρχει
στο οπίο η παρουσιάζει μέγιστο.
Όμως έχουμε:
Οπότε (πρόσημο ορίου) είναι
και άρα . Οπότε (Θ. Fermat) και άρα (από 1)
που είναι άτοπο. Επομένως η διατηρεί πρόσημο στο
Οπότε , αν π.χ. είναι
τότε :
και άρα
Όμως τότε, λόγω της συνέχειας στο α , προκύπτεί c=0 ¨ που είναι άτοπο.
Άρα υπάρχει β>α τέτοιο ώστε .
Έστω το μικρότερο β για το οποίο είναι .
Τότε (Θ. Rolle) υπάρχει
που είναι άτοπο .
Όμοια , για ,
που είναι άτοπο.
Όμοια εραζόμενοι στο στο , βρισκουμε τελικά
τελευταία επεξεργασία από G.Tsikaloudakis σε Σάβ Ιαν 22, 2011 8:23 pm, έχει επεξεργασθεί 15 φορές συνολικά.
Γιώργος Τσικαλουδάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες