Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10940
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 08, 2011 7:45 pm

Αν a θετικός , βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : f(x)=\sqrt{x^{2}-(a\sqrt{3})x+a^{2}}+\sqrt{x^{2}+a^{2}}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μαρ 08, 2011 7:59 pm

Είναι με εφαρμογή της ανισότητας Minkowski

\displaystyle{f(x)=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-x \right)^2+\frac{a^2}{4}}+\sqrt{x^2+a^2}\geq \sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{9a^2}{4}}=a\sqrt{3}}

και η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle{x=\frac{a}{\sqrt{3}}.}\

Προφανώς, μέγιστη τιμή δεν έχουμε αφού \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty .}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τρί Μαρ 08, 2011 8:11 pm

Μια άλλη λύση
Η \displaystyle{f(x) = \sqrt {{{\left( {x - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  + \sqrt {{x^2} + {a^2}} }=
=(ΜΑ)+(ΜΒ) όπου
Μ(x, 0), B(0, α) και \displaystyle{A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,\frac{a}{2}} \right)}
Αν Β΄(0, -α) το συμμετρικό του Β ως προς τον χ΄χ, τότε το (ΜΑ)+(ΜΒ) γίνεται ελάχιστο όταν το Μ βρεθεί στο σημείο που τέμνει η Β΄Α τον χ΄χ, που είναι το \displaystyle{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3},\,\,0} \right)}.
Τότε \displaystyle{{f_{\min }}}=(Β΄Α)=\displaystyle{a\sqrt 3 }
Όπως ανέφερε ο matha δεν έχει μέγιστο.


Αποστόλης
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τρί Μαρ 08, 2011 8:21 pm

Έχουμε δει παρόμοιο θέμα
viewtopic.php?f=52&t=12376
και viewtopic.php?f=49&t=13442


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 829
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τρί Μαρ 08, 2011 8:29 pm

stranton έγραψε:Έχουμε δει παρόμοιο θέμα
viewtopic.php?f=52&t=12376
και viewtopic.php?f=49&t=13442
Επανάληψις μήτηρ μαθήσεως ;)


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10940
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μη μας ενοχλείτε κύριε Fermat !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 08, 2011 9:22 pm

Και μία λύση για τους μαθητές της Θεωρητικής Κατεύθυνσης (Β') .

Από την κορυφή A ισοσκελούς τριγώνου ABC με \widehat{A}=120^{o} , παίρνω τμήμα AE=x ,

που σχηματίζει γωνία 30^{o} με την AB . Από ν. συνημιτόνων έχω : BE=\sqrt{x^{2}+a^{2}-ax\sqrt{3}} ,

και από Πυθαγόρειο Θεώρημα EC=\sqrt{x^{2}+a^{2}}.

Είναι τώρα φανερό ότι το BE+EC γίνεται ελάχιστο όταν το E βρεθεί στη θέση D , οπότε BC=a\sqrt{3}

Τότε \displaystyle x=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Συνημμένα
No  Fermat .png
No Fermat .png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης