Σταθερή συνάρτηση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σταθερή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μαρ 09, 2011 1:15 pm

Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μία συνάρτηση για την οποία ισχύει

f(e^x+y)=f(e^y+x), \forall x,y \in \mathbb{R}

Να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή.


Σπύρος Καπελλίδης
Dreamkiller
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 12:52 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dreamkiller » Τετ Μαρ 09, 2011 2:57 pm

Έστω ένας τυχαίος πραγματικός αριθμός z, τον οποίον σταθεροποιώ. Τότε για κάθε x \in R υπάρχει y \in R τέτοιο ώστε e^x+y=z.
Θεωρώ τώρα τη συνάρτηση g(x)=e^y+x=e^{z-e^x}+x, η οποία είναι συνεχής στο R.
Είναι \displaystyle \lim_{x \to -\infty }g(x)=-\infty και \displaystyle \lim_{x \to +\infty }=+\infty, άρα η g σαρώνει όλο το R.
Επανεξετάζοντας βάσει αυτών τη δοθείσα, παίρνουμε πως f(x)=f(z) \forall x \in g(R)=R, άρα η f είναι σταθερή.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σταθερή συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Μαρ 09, 2011 8:10 pm

Ωραία!!

Ας το γράψω λίγο πιο αναλυτικά :

Αν a,b είναι δύο αυθαίρετα επιλεγμένοι πραγματικοί, αρκεί να δείξω ότι f(a)=f(b)

Η συνάρτηση g(x)=e^{a-e^x}+x, x \in \mathbb{R} είναι συνεχής και

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty, \displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty, άρα f(\mathbb{R})=\mathbb{R}

Συνεπώς υπάρχει x_0 \in \mathbb{R} ώστε g(x_0)=b \Rightarrow b=e^{a-e^{x_0}}+x_0

Έστω y_0=a-e^{x_0}

Τότε a=y_0+e^{x_0} \wedge b=e^{y_0}+x_0 \Rightarrow f(a)=f(y_0+e^{x_0})=f(x_0+e^{y_0})=f(b)

και η απόδειξη τελείωσε.


Σπύρος Καπελλίδης
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σταθερή συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Δευ Οκτ 07, 2013 5:51 pm

s.kap έγραψε:Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μία συνάρτηση για την οποία ισχύει

f(e^x+y)=f(e^y+x), \forall x,y \in \mathbb{R}

Να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή.
Ψάχνοντας σε παλιές αναρτήσεις βρήκα αυτήν την πολύ ωραία άσκηση...

Μια παρόμοια λύση...

Για y=-e^x έχουμε f(0)=f\left(e^{-e^x}+x\right).

Έστω g(x)=e^{-e^x}+x\;,\;x\in\Bbb{R}.

Η g είναι συνεχής στο \Bbb{R} και παραγωγίσιμη με g'(x)=1-e^{x-e^{x}}>0 για κάθε x\in\Bbb{R} , αφού e^x>x\Rightarrow x-e^x<0\Rightarrow e^{x-e^x}<1.

Άρα είναι γνησίως αύξουσα στο \Bbb{R} .

Επίσης \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty και \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty , επομένως f(\Bbb{R})=\Bbb{R}.

Άρα για κάθε t\in\Bbb{R} , υπάρχει x\in\Bbb{R} , ώστε g(x)=t\iff e^{-e^x}+x=t.

Έτσι για t=e^{-e^x}+x , έχουμε f(t)=f(0) για κάθε t\in\Bbb{R} , δηλαδή η f είναι σταθερή.


Κώστας Ζερβός
FERMA
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Παρ Οκτ 21, 2011 8:39 pm

Re: Σταθερή συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από FERMA » Πέμ Δεκ 05, 2013 9:39 pm

Παραθέτω άλλη μία λύση.

θέτω για y\prec 0 το e^x\rightarrow -y και η αρχική σχέση θα πάρει την παρακάτω μορφή.
f(0)=f(e^{e^{x}}+ln(-y)) . Τώρα για χ\rightarrow 0, f(0)=f(e+ln(-y)) και αυτό από την αρχική ισότητα γίνεται
f(0)=f(1-y). Βάζω t\rightarrow 1-y και προκύπτει f(t)=f(0) για κάθε t.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης