Αύξουσα συνάρτηση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Αύξουσα συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 29, 2011 7:11 pm

Μία κομψή (όχι δύσκολη) από το αρχείο του Θάνου:

Έστω f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} γνησίως αύξουσα συνάρτηση για την οποία ισχύει f(f(x))=\frac {x}{\sqrt {x^2+1}}.

Αποδείξτε ότι υπάρχει x_0 \in \mathbb{R} τέτοιο ώστε f(x_0)>1


Σπύρος Καπελλίδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Αύξουσα συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 29, 2011 9:56 pm

Έστω f(x)\leq 1, για κάθε x.

Τότε f(f(x))\leq f(1), δηλαδή \displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\leq f(1),

οπότε για x>0 είναι \displaystyle \frac{1}{x^2} \geq \frac{1}{f^2(1)}-1 και παίρνοντας όριο στο +\infty, f^2(1)\geq 1.

Όμως, 0<f(1)\leq 1 οπότε f(1)=1.

Είναι 1\geq f(2)> f(1)=1, άτοπο.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Αύξουσα συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Μαρ 29, 2011 10:07 pm

Χεχε socrates θα σου κλέψω τον ρόλο. Κατά κανόνα υποδεικνύεις εσύ λινκσ αλλά αυτή είναι η 9 εδώ viewtopic.php?f=55&t=10627&start=20


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Αύξουσα συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μαρ 29, 2011 10:43 pm

Ας δούμε και μία κάπως διαφορετική :

Κατ' αρχάς f(1) \neq 1, γιατί αν f(1)=1, τότε \frac {1}{\sqrt{2}}=f(f(1))=f(1)=1, άτοπο.

Αν f(x) \le 1, \forall x \in \mathbb{R}, τότε

f(f(x)) \le f(1), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \frac {x}{\sqrt{x^2+1}} \le f(1), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow

1=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac {x}{\sqrt{x^2+1}}  \le f(1)<1, άτοπο.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης