Συναρτησιακή 96

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή 96

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 22, 2011 4:44 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle x^2f(x)=f(x^2)   , για κάθε x \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
GVlachos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 8:04 pm

Re: Συναρτησιακή 96

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GVlachos » Παρ Απρ 22, 2011 5:08 pm

Προφανώς η f είναι άρτια.
Για τυχαίο x>0 έχουμε f(x^2)=x^2f(x)=x^2xf(x^{\frac{1}{2}}) και με επαγωγή f(x^2)=\prod{x^{2^i}f(x^{2^{i-1}}) για i από 1 μέχρι -n όπου n θετικός ακέραιος.
Παίρνοντας το n να τείνει στο άπειρο και χρησιμοποιώντας τη συνέχεια της f και ότι 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...=2 παίρνουμε f(x^2)=x^4f(1).
Άρα αφού η f είναι άρτια f(x)=ax^2 για κάθε x.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης