Συναρτησιακή 97

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή 97

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 22, 2011 4:51 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle  (1 + yf(x))(1 - yf(x + y)= 1 , για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+.


Θανάσης Κοντογεώργης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Συναρτησιακή 97

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Κυρ Απρ 24, 2011 7:19 pm

Καλησπέρα και χρόνια πολλά!

Επιχειρώ μια αντιμετώπιση με την ελπίδα ότι δεν με έχουν επηρεάσει οι ... τοξίνες.

Έχουμε \displaystyle{ 
[1 + yf(x)][1 - yf(x + y)] = 1\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x,y > 0\,\,\,(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f(x) > 0\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x > 0\,\,\,(2)\,}

H \displaystyle{f_1(x) = \frac{1}{x}\,} , x > 0 είναι μια από τις συναρτήσεις που αναζητούμε (η εύρεση της θα φανεί πιο κάτω)

Εξετάζουμε αν υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις διαφορετικές της \displaystyle{f_1(x) = \frac{1}{x}\,} , x > 0 που ικανοποιούν την (1)

\displaystyle{\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x,y > 0}

\displaystyle{ 
(1) \Rightarrow 1 - yf(x + y) = \frac{1}{{1 + yf(x)}} \Rightarrow yf(x + y) = 1 - \frac{1}{{1 + yf(x)}} \Rightarrow yf(x + y) = \frac{{yf(x)}}{{1 + yf(x)}} 
} \displaystyle{ 
 \Rightarrow f(x + y) = \frac{{f(x)}}{{1 + yf(x)}}}

Έτσι για τυχαίο σταθερό θετικό x βρίσκουμε \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ +  } f(x + y) = f(x)\,\,\,(3)\,\,\,} (Εδώ μπορεί να αποδειχθεί και η συνέχεια της f)

Με εναλλαγή των x , y από την (1) παίρνουμε για κάθε x , y >0

\displaystyle{ 
[1 + xf(y)][1 - xf(x + y)] = 1 \Rightarrow 1 + xf(y) = \frac{1}{{1 - xf(x + y)}} \Rightarrow xf(y) = \frac{1}{{1 - xf(x + y)}} - 1 
} \displaystyle{ 
 \Rightarrow xf(y) = \frac{{xf(x + y)}}{{1 - xf(x + y)}} \Rightarrow f(y) = \frac{{f(x + y)}}{{1 - xf(x + y)}}\,\,(4)}

\displaystyle{ 
(3) \wedge (4) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ +  } f(y) = \frac{{f(x)}}{{1 - xf(x)}} = c \in R^ +   
} , αυτό προκύπτει από τον συνδυασμό των παρακάτω

(i) μοναδικότητα ορίου

(ii) υπάρχει x > 0 ώστε \displaystyle{1 - xf(x) \ne 0} αφού διαφορετικά θα ήταν \displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}} για κάθε x > 0 , άτοπο

(iii) αν ήταν \displaystyle{ 
\,\mathop {\lim }\limits_{y \to 0^ +  } f(y) < 0} τότε η f θα έπαιρνε και αρνητικές τιμές κοντά στο 0 , άτοπο.

Συνεπώς έχουμε δείξει ότι για κάθε x > 0 ισχύει \displaystyle{ 
\frac{{f(x)}}{{1 - xf(x)}} = c \Rightarrow f(x) = \frac{c}{{1 + cx}}\,\,,\,\,c > 0}

Βρίσκουμε ότι και οι παραπάνω συναρτήσεις ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες

Γιώργος

ΥΓ. Έγινε μια μικρή διόρθωση


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 97

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Απρ 25, 2011 7:46 am

νομίζω ότι για \displaystyle{ x=0 f(0)=c>0,y\ge 0} φτάνουμε πολύ εύκολα στο \displaystyle{f(y)=\frac{c}{1+cy}} που επαληθεύουμε ότι ισχύει και για c=0(\displaystyle{R^+=[0,+\infty )}


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Συναρτησιακή 97

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Απρ 25, 2011 12:14 pm

R BORIS έγραψε:νομίζω ότι για \displaystyle{ x=0 f(0)=c>0,y\ge 0} φτάνουμε πολύ εύκολα στο \displaystyle{f(y)=\frac{c}{1+cy}} που επαληθεύουμε ότι ισχύει και για c=0(\displaystyle{R^+=[0,+\infty )}
Ροδόλφε καλημέρα

Πράγματι , συνήθως με το \displaystyle{R^ +  } εννοούμε το \displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)} και σε αυτή την περίπτωση η λύση γίνεται εύκολα.

Σε επικοινωνία με τον socrates όμως , μου διευκρίνισε ότι εννοεί το \displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή 97

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Αύγ 23, 2011 11:25 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης