Υπάρχει συνάρτηση...

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Υπάρχει συνάρτηση...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Μάιος 19, 2011 10:35 pm

Δείξτε ότι για κάθε συνάρτηση \varphi : (1,+\infty) \to \mathbb{R} υπάρχει μοναδική συνάρτηση f:(1,+\infty)\to \mathbb{R} τέτοια ώστε \sin f(t) + tf(t) = \varphi(t), \forall t \in (1,+\infty).

Επιπλέον, αν η \varphi είναι συνεχής, τότε και η f είναι συνεχής, ενώ αν η \varphi είναι παραγωγίσιμη το ίδιο ισχύει και για την f.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2179
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει συνάρτηση...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Μάιος 20, 2011 10:59 am

Η συνάρτηση \displaystyle{g(y)=siny+ty,a>1} είναι 1-1 και επί του R άρα για κάθε \displaystyle{t>1} η εξίσωση \displaystyle{g(y)=\phi (t) } έχει μοναδική λύση \displaystyle{f(t)}

\displaystyle{\phi (t)-\phi (t_0)=sinf(t)-sinf(t_0)+tf(t)-t_0f(t_0)-tf(t_0)+tf(t_0)=sinf(t)-sinf(t_0)+t(f(t)-f(t_0))-(t-t_0)f(t_0)}[*}
άρα
\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|=|sinf(t)-sinf(t_0)+t(f(t)-f(t_0))-(t-t_0)f(t_0)} τότε από τριγωνική εχουμε

\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|+|(t-t_0)f(t_0)|\ge |sinf(t)-sinf(t_0)+t(f(t)-f(t_0))|\ge |t(f(t)-f(t_0))|-|sinf(t)-sinf(t_0)|}
όμως
\displaystyle{|f(t)-f(t_0)|\ge |sinf(t)-sinf(t_0)|}

άρα η προηγούμενη γίνεται
\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|+|(t-t_0)f(t_0)|+|f(t)-f(t_0)|\ge t|f(t)-f(t_0)|}
ή
\displaystyle{|\phi (t)-\phi (t_0)|+|(t-t_0)f(t_0)|\ge (t-1)|f(t)-f(t_0)|\ge 0}

Αν υποθέσουμε ότι \displaystyle{t\to t_0>1} εχουμε \displaystyle{f(t)\to f(t_0)} αρα f συνεχής

Είναι λόγω τη [*]
\displaystyle{\frac{\phi (t)-\phi (t_0)}{t-t_0}+f(t_0)=\frac{sinf(t)-sinf(t_0)}{f(t)-f(t_0)}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}+t\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}}
αρα

\displaystyle{\frac{\phi (t)-\phi (t_0)}{t-t_0}+f(t_0)=\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}(\frac{sinf(t)-sinf(t_0)}{f(t)-f(t_0)}+t)} με \displaystyle{\frac{sinf(t)-sinf(t_0)}{f(t)-f(t_0)}+t\ne 0} αφού \displaystyle{t\to t_0>1}

παίρνοντας όρια \displaystyle{t\to t_0} προκύπτει ότι f παραγωγίσιμη


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης