Ποια είναι η συνάρτηση;

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Ποια είναι η συνάρτηση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Ιουν 02, 2009 3:37 pm

Καλησπέρα σε όλους.
Τέλειωσαν οι εξετάσεις και μετά από σχετική ξεκούραση ας δούμε μια ωραία άσκηση.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τις σχέσεις:
1. % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x 
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamOzaiaacI 
% cacaWG4bGaamOzaiaacIcacaWG5bGaaiykaiaacMcacqGH9aqpcaWG 
% 5bGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa!41C0! 
\displaystyle f(xf(y)) = yf(x)\displaystyle{  για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών x,y. 
2.  % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaWaaCbeaeaacq
% WItecBcaWGPbGaamyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkabgUcaRiabg6Hi
% LcqabaGccaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyypa0JaaGimaaaa!438A!
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0}

Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Ιουν 02, 2009 4:06 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τις σχέσεις: .....
Θωμά μια απορία: Ποιό είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων? Το \mathbb{R}, το (0,+\infty) ή κάποιο άλλο?

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Ιουν 02, 2009 4:13 pm

Αλέξανδρε καλησπέρα.
Η άσκηση δίνεται όπως την έδωσα.
Από την απάντηση καταλαβαίνω ότι δεν είναι το R, δούλεψε στο % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x 
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaWaaeWaaeaaca 
% aIWaGaaiilaiabgUcaRiabg6HiLcGaayjkaiaawMcaaaaa!3B3E! 
\displaystyle \left( {0, + \infty } \right)
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Ιουν 02, 2009 4:18 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Αλέξανδρε καλησπέρα.
Η άσκηση δίνεται όπως την έδωσα.
Από την απάντηση καταλαβαίνω ότι δεν είναι το R, δούλεψε στο % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x 
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaWaaeWaaeaaca 
% aIWaGaaiilaiabgUcaRiabg6HiLcGaayjkaiaawMcaaaaa!3B3E! 
\displaystyle \left( {0, + \infty } \right)
Θωμάς
Οκ Θωμά θα την κοιτάξω όπως είναι. Απλά αν μπορείς κοίταξε σε παρακαλώ την διαδικασία (όχι μόνο την απάντηση) μήπως και κάνει αντικαταστάσεις του τύπου "όπου x το f(x)" και δεν έχει δείξει προηγουμένως π.χ. ότι f(x)\in(0,+\infty) (οπότε τότε χρειαζόμαστε να δουλέψουμε στο \mathbb{R}).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Ιουν 02, 2009 4:22 pm

Αλέξανδρε τέτοια αντικατάσταση δεν κάνει.
Κυτάω όμως να δω μήπως χρειάζεται να είναι f(x)>0.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Ιουν 02, 2009 5:31 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.
Τέλειωσαν οι εξετάσεις και μετά από σχετική ξεκούραση ας δούμε μια ωραία άσκηση.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τις σχέσεις:
1. % MathType!MTEF!2!1!+- 
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn 
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x 
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamOzaiaacI 
% cacaWG4bGaamOzaiaacIcacaWG5bGaaiykaiaacMcacqGH9aqpcaWG 
% 5bGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa!41C0! 
\displaystyle f(xf(y)) = yf(x)\displaystyle{  για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών x,y. 
2.  % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbeqabeqaceGabiqabeqabmqabeabbaGcbaWaaCbeaeaacq
% WItecBcaWGPbGaamyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkabgUcaRiabg6Hi
% LcqabaGccaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyypa0JaaGimaaaa!438A!
\displaystyle \mathop {\ell im}\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0}

Θωμάς
Είχα δει μια τέτοια σε ΙΜΟ τη δεκαετία του -80 αν δεν απατώμαι, δοσμένη από την Αγγλία, αλλά δεν τη θυμάμαι καθόλου !

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Ιουν 02, 2009 6:24 pm

Καλησπέρα
Τελικά βρήκα το θέμα σε αρχείο στο internet.
Όταν δόθηκε λοιπόν το θέμα ήταν όπως στο συνημένο και όχι όπως το πήρα απο το βιβλίο.

Θωμάς
Συνημμένα
9194425.gif
9194425.gif (1.59 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Ιουν 02, 2009 10:25 pm

Τώρα νομίζω ότι είναι ΟΚ και αν δεν έχω κάνει λάθος κάπου πρόκειται για πολύ καλή άσκηση!


Καταρχήν για x=y στην αρχική σχέση f(xf(y))=yf(x) \ \ (1) παίρνουμε f(xf(x))=xf(x) \ \ (2). Συνεπώς για κάθε x>0, το xf(x) μένει αμετάβλητο με τη δράση της συνάρτησης f. Ας ονομάσουμε με a το τυχαίο kf(k) για το οποίο f(a)=a.

Τότε a=f(a)=f(1\cdot a)\stackrel{f(a)=a}{=} f(1\cdot f(a))\stackrel{(1)}{=}af(1) άρα επειδή a>0 παίρνουμε f(1)=1 \ \ (3).

Επίσης f(a^2)=f(a\cdot a)=f(af(a)) \stackrel{(2)}{=} af(a)=a^2. Είναι εύκολο πλέον να δείξουμε επαγωγικά ότι f(a^n)=a^n για κάθε n \geq 2.

Θα δείξουμε ότι a=1 και γι' αυτό ας υποθέσουμε αντίθετα ότι a\neq 1.

1) Aν a>1 τότε

\displaystyle\lim_{n\to +\infty} a^n = +\infty δηλαδή \displaystyle\lim_{n\to\infty} f(a^n)=+\infty πράγμα που αντιβαίνει στην δεύτερη υπόθεση.

2) Αν a<1 τότε από την (3) έχουμε 1=f(1)=f(a^{-1}\cdot a)\stackrel{f(a)=a}{=}f\left(a^{-1}f(a)\right)\stackrel{(1)}{=}af\left(a^{-1}\right) δηλαδή f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)=\displaystyle\frac{1}{a} οπότε και πάλι επαγωγικά δείχνουμε ότι f\left(\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n\right)=\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n οπότε επειδή \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{a}\right)^n = +\infty (αφού \displaystyle\frac{1}{a}>1), άρα και πάλι καταλήγουμε σε άτοπο.

Συνεπώς για το τυχαίο k>0 με f(kf(k))=kf(k) ισχύει kf(k)=1 άρα για κάθε x>0 ισχύει xf(x)=1 απ' όπου f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x>0 η οποία επαληθεύει την αρχική συνθήκη άρα είναι και η ζητούμενη συνάρτηση.

Άρα \boxed{f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x>0}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Ιουν 02, 2009 10:36 pm

Καλησπέρα.
Αλέξανδρε συγχαρητήρια, άψογη η λύση σου.
Το θέμα το πήρα από ένα παλιό βιβλίο του Αχτσαλωτίδη, που είχε ελλειπή την εκφώνηση.
Επειδή όμως έλεγε ότι ήταν θέμα ΙΜΟ του 1983, την βρήκα στο internet και την συμπλήρωσα.
Πράγματι είναι πολύ καλή άσκηση και ειδικά το σημείο που στηρίζεται ο συλλογισμός ότι η συνάρτηση f έχει σταθερά σημεία (αφού υπάρχουν θετικοί αριθμοί z=xf(x) ώστε f(z)=z) είναι όλα τα λεφτά.
Είναι ένα θέμα καλό για προπόνηση μαθητών με ιδιαίτερες ικανότητες.
Να είσαι καλά
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Ιουν 02, 2009 10:38 pm

Είναι και άσκηση που υπάρχει σε βιβλίο του Γ.Μπαιλάκη...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ποια είναι η συνάρτηση;

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Τρί Ιουν 02, 2009 10:39 pm

Χρήστο μου σε ποιο βιβλίο του Γ.Μ υπάρχει γιατί τα έχω σχεδόν όλα.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης