ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

#1

...Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα μας...σκαλίζοντας τα αρχεία μου έπεσα σε ένα θέμα (...αγνώστου πηγής) που με είχε προβληματίσει αρκετά...ως προς την αντιμετώπιση του τελικού συμπεράσματος...για αυτό το δημοσιεύω προς συζήτηση....

Έστω συνάρτηση $f(x)=\left| 2z+1 \right|{{x}^{3}}-\left| z \right|x-1,\,x\in R,\,\,z\in {{C}^{*}}$ .Αν η εξίσωση f(x)=0

έχει ρίζα στο $(0,\,1)$ να δείξετε ότι ${\rm{Re}}\left( z \right){\rm{ > }}\frac{1}{{12}}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
.. συγγνώμη όσους ταλαιπώρησα... διόρθωσα το ζητούμενο ${\rm{Re(z) > }}\frac{1}{{12}}$

Παναγιώτης 1729 · #2

Αν

με Bolzano στο (0,1) βλέπουμε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Αν μου ξεφεύγει κάτι πείτε μου.

#3

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα...παρουσιάζω μία προσπάθεια που έκανα, αλλά υπάρχει ένα σημείο που με προβληματίζει...

Είναι f(0)=-1 και ${f}'(x)=3\left| 2z+1 \right|{{x}^{2}}-\left| z \right|$ και ${f}''(x)=6\left| 2z+1 \right|x,\,\,\,x\in (0,\,1)$

Αν τώρα 2z+1=0 τότε $f(x)=-\frac{1}{2}x-1$ που δεν έχει ρίζα στο (0, 1) οπότε 2z+1≠0 και είναι ${f}''(x)>0,\,\,x\in (0,\,\,1)$ που σημαίνει ότι {f}'

γνήσια αύξουσα στο $[0,\,1]$ έτσι αν $f({{x}_{0}})=0,\,\,\,{{x}_{0}}\in (0,\,1)$

σύμφωνα με το ΘΜΤ θα υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (0,\,\,{{x}_{0}}),\,\,\,{{x}_{2}}\in ({{x}_{0}},\,1)$ ώστε ${f}'({{x}_{1}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(0)}{{{x}_{0}}}=\frac{1}{{{x}_{0}}},\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(1)-f({{x}_{0}})}{1-{{x}_{0}}}=\frac{f(1)}{1-{{x}_{0}}}$ και επειδή ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ θα ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω ότι

${f}'({{x}_{1}})<{f}'({{x}_{2}})$ άρα $\frac{1}{{{x}_{0}}}<\frac{f(1)}{1-{{x}_{0}}}\Leftrightarrow f(1)>\frac{1-{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}}>0$ αφού ${{x}_{0}}\in (0,\,1)$ επομένως θα ισχύει αναγκαία $\left| 2z+1 \right|-\left| z \right|-1>0$ (1)

……και από εδώ ξεκινάει ο προβληματισμός ….

πηγαίνοντας αλγεβρικά…..Ισοδύναμα έχουμε $\left| 2z+1 \right|>\left| z \right|+1\Leftrightarrow (2z+1)(2\bar{z}+1)>{{\left| z \right|}^{2}}+2\left| z \right|+1$ ......ισοδύναμα

4Re(z)>-3 ${{\left| z \right|}^{2}}$ +2 $\left| z \right|$ οπότε Re(z)> $-\frac{3}{4}{{\left| z \right|}^{2}}+\frac{1}{2}\left| z \right|$ (2)

Η μελέτη της συνάρτησης $g(x)=-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x,\,\,x>0$ δίνει ότι έχει μέγιστη τιμή την $g(\frac{1}{3})=\frac{1}{12}$ και λόγω (2) να πούμε ότι Re(z)> $\frac{1}{12}$ πρέπει μάλλον να έχει θεωρητικό κενό λόγω της εξάρτησης του Re(z) με το μέτρο του ….
…κάπως γεωμετρικά από την (2)…. δεν έχω καταφέρει να δω κάτι…. κάθε βοήθεια ευπρόσδεκτη…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Μέλη σε σύνδεση