ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Ιουν 17, 2011 2:52 pm

...Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα μας...σκαλίζοντας τα αρχεία μου έπεσα σε ένα θέμα (...αγνώστου πηγής) που με είχε προβληματίσει αρκετά...ως προς την αντιμετώπιση του τελικού συμπεράσματος...για αυτό το δημοσιεύω προς συζήτηση....

Έστω συνάρτηση f(x)=\left| 2z+1 \right|{{x}^{3}}-\left| z \right|x-1,\,x\in R,\,\,z\in {{C}^{*}}.Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα στο (0,\,1) να δείξετε ότι {\rm{Re}}\left( z \right){\rm{ > }}\frac{1}{{12}}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
.. συγγνώμη όσους ταλαιπώρησα... διόρθωσα το ζητούμενο {\rm{Re(z) > }}\frac{1}{{12}}
τελευταία επεξεργασία από mathxl σε Πέμ Δεκ 22, 2011 10:32 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: μετατροπή σε latex


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Παναγιώτης 1729
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης 1729 » Παρ Ιουν 17, 2011 3:28 pm

Αν z=i με Bolzano στο (0,1) βλέπουμε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Αν μου ξεφεύγει κάτι πείτε μου.


Λώλας Παναγιώτης
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΟ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιουν 19, 2011 12:06 am

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα...παρουσιάζω μία προσπάθεια που έκανα, αλλά υπάρχει ένα σημείο που με προβληματίζει...

Είναι f(0)=-1 και {f}'(x)=3\left| 2z+1 \right|{{x}^{2}}-\left| z \right| και {f}''(x)=6\left| 2z+1 \right|x,\,\,\,x\in (0,\,1)

Αν τώρα 2z+1=0 τότε f(x)=-\frac{1}{2}x-1που δεν έχει ρίζα στο (0, 1) οπότε 2z+1≠0 και είναι {f}''(x)>0,\,\,x\in (0,\,\,1) που σημαίνει ότι {f}' γνήσια αύξουσα στο [0,\,1]έτσι αν f({{x}_{0}})=0,\,\,\,{{x}_{0}}\in (0,\,1)

σύμφωνα με το ΘΜΤ θα υπάρχουν {{x}_{1}}\in (0,\,\,{{x}_{0}}),\,\,\,{{x}_{2}}\in ({{x}_{0}},\,1) ώστε {f}'({{x}_{1}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(0)}{{{x}_{0}}}=\frac{1}{{{x}_{0}}},\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(1)-f({{x}_{0}})}{1-{{x}_{0}}}=\frac{f(1)}{1-{{x}_{0}}} και επειδή {{x}_{1}}<{{x}_{2}} θα ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω ότι

{f}'({{x}_{1}})<{f}'({{x}_{2}}) άρα \frac{1}{{{x}_{0}}}<\frac{f(1)}{1-{{x}_{0}}}\Leftrightarrow f(1)>\frac{1-{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}}>0 αφού {{x}_{0}}\in (0,\,1) επομένως θα ισχύει αναγκαία \left| 2z+1 \right|-\left| z \right|-1>0(1)

……και από εδώ ξεκινάει ο προβληματισμός ….

πηγαίνοντας αλγεβρικά…..Ισοδύναμα έχουμε \left| 2z+1 \right|>\left| z \right|+1\Leftrightarrow (2z+1)(2\bar{z}+1)>{{\left| z \right|}^{2}}+2\left| z \right|+1......ισοδύναμα

4Re(z)>-3{{\left| z \right|}^{2}}+2\left| z \right| οπότε Re(z)>-\frac{3}{4}{{\left| z \right|}^{2}}+\frac{1}{2}\left| z \right| (2)

Η μελέτη της συνάρτησης g(x)=-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x,\,\,x>0 δίνει ότι έχει μέγιστη τιμή την g(\frac{1}{3})=\frac{1}{12} και λόγω (2) να πούμε ότι Re(z)>\frac{1}{12} πρέπει μάλλον να έχει θεωρητικό κενό λόγω της εξάρτησης του Re(z) με το μέτρο του ….
…κάπως γεωμετρικά από την (2)…. δεν έχω καταφέρει να δω κάτι…. κάθε βοήθεια ευπρόσδεκτη…

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης