Ανοιχτή ερώτηση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10919
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανοιχτή ερώτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 13, 2011 4:54 pm

Υπάρχουν άραγε τρίγωνα \displaystyle ABC , για τα οποία να είναι : cosA+cosB+cosC = sinA+sinB+sinC ?


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ανοιχτή ερώτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Σεπ 13, 2011 5:14 pm

Ναι.

Η εξίσωση f(x)=2 \sin x +\sin 2x-2 \cos x +\cos 2x=0 έχει λύση στο \displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)

αφού \displaystyle f(0)=-1 , \ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 και λόγω συνέχειας.

Το τρίγωνο με γωνίες x_0,x_0, \pi -2x_0, όπου x_0 η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης είναι λύση.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10919
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανοιχτή ερώτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 13, 2011 7:40 pm

Η (σωστή ασφαλώς !) απάντηση του Socrates σε σχήμα . Αναφέρεται σε ισοσκελή τρίγωνα με ίσες γωνίες x

Η γωνία x , είναι περίπου 15,88 ^{o} , (καλύτερη προσέγγιση by Baloglou)

Παρατήρηση : Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων το άθροισμα των συνημιτόνων , είναι μικρότερο

από το άθροισμα των ημιτόνων . Μάλιστα τα maxima των δύο ποσοτήτων είναι \displaystyle \frac{3}{2} και \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2} αντίστοιχα .

Το "ανοιχτό" της ερώτησης , λοιπόν , γίνεται : Υπάρχει σκαληνό τρίγωνο μ' αυτή την ιδιότητα ;
Συνημμένα
Ανοιχτή  ερώτηση.png
Ανοιχτή ερώτηση.png (17.75 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τετ Σεπ 14, 2011 12:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2690
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανοιχτή ερώτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Σεπ 14, 2011 2:19 am

Μία γραφική μελέτη των συναρτήσεων sin(A)+sin(x)+sin(\pi-A-x)-cos(A)-cos(x)-cos(\pi-A-x) μας δείχνει ότι υπάρχει αφθονία σκαληνών λύσεων, συγκεκριμένα λύση με τρεις διάφορες μεταξύ τους γωνίες για 0<A<\frac{\pi}{6} (με προφανή οριακή λύση και εκφυλισμένο τρίγωνο γωνιών 0^{0}, 30^{0}, και 150^{0}).

Από εδώ και πέρα αρχίζουν τα παράξενα: σε κάθε λύση το άθροισμα των δύο μικρών γωνιών είναι πολύ κοντά στο \frac{\pi}{6}\simeq0,5236, ενώ η τρίτη γωνία είναι πολύ κοντά στο \frac{5\pi}{6}=2,618. Μία λύση για παράδειγμα είναι η A=0,2, B\simeq0,3516, C\simeq2,59, όπου A+B\simeq0,5516, στην ισοσκελή λύση του Socrates έχουμε A=B\simeq0,2771 με A+B\simeq0,5542, κλπ :evil:

Γιώργος Μπαλόγλου


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8259
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανοιχτή ερώτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Σεπ 14, 2011 12:19 pm

Αυτά που θα γράψω είναι περισσότερο για τους καθηγητές και όχι για τους μαθητές μιας και θα ξεφύγω κατά πολύ από το σχολικά πλαίσια.

Η άσκηση ακόμη και με τα σκαληνά τρίγωνα είναι απλή αν χρησιμοποιήσουμε τα κατάλληλα εργαλεία.

Θεωρούμε το σύνολο S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 0 < x < y < z \wedge x + y + z = \pi\} και την συνάρτηση f: S \to \mathbb{R}; \; f(x,y,z) = \cos(x) + \cos(y) + \cos(z) - \sin(x) - \sin(y) - \sin(z). Αυτό που ζητάμε είναι να βρεθεί ένα στοιχείο (x,y,z) του S για το οποίο f(x,y,z) = 0.

Αυτό που θα θέλαμε να κάνουμε είναι να βρούμε ένα στοιχείο για το οποίο η f παίρνει αρνητική τιμή, ένα στοιχείο που παίρνει θετική τιμή και μετά να πούμε ότι τελειώσαμε από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Φυσικά το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής μιλάει για συναρτήσεις από το \mathbb{R} στο \mathbb{R}. Όμως και εδώ είμαστε εντάξει. Τα βασικά στοιχεία είναι
(α) Το σύνολο S είναι συνεκτικό.
(β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής
(γ) Αν X συνεκτικό και f: X \to Y συνεχής, τότε Y συνεκτικό.
(δ) Αν Y συνεκτικό υποσύνολο του \mathbb{R} τότε το Y είναι διάστημα.
Με τις πιο πάνω παρατηρήσεις τελειώσαμε.

Επειδή όμως το S είναι όχι μόνο συνεκτικό αλλά path-connected (δεν γνωρίζω την ελληνική ορολογία) τότε μπορούμε να μετατρέψουμε την πιο πάνω απόδειξη σε μια απόδειξη που χρησιμοποιεί το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής και μόνο. (Χωρίς συνεκτικότητα κ.τ.λ.)

Πιο συγκεγκριμένα
(α) Βρίσκουμε τα κατάλληλα σημεία. Π.χ. f(0,0,\pi) > 0 και f(\pi/3,\pi/3,\pi/3) < 0. [Εδώ κλέβουμε λίγο αφού επιτρέπουμε εκφυλισμένα και μη σκαληνά τρίγωνα. Θα διορθωθεί σε λίγο.]
(β) Βρίσκουμε τώρα ένα τρόπο να μετακινηθούμε με συνεχή τρόπο από το (0,0,\pi) στο (\pi/3,\pi/3,\pi/3) μόνο μέσω σκαληνών τριγώνων.
(γ) Εφαρμόζουμε θεώρημα ενδιάμεσης τιμής και τελειώσαμε.

Μετά από όλα αυτά ας γράψω και μια σύντομη (σχολική) απόδειξη εφαρμόζοντας τα πιο πάνω

Ορίζω g:[0,\pi/3] \to \mathbb{R} με \displaystyle{ g(x) = \begin{cases} \cos(x) + \cos(2x) + \cos(\pi - 3x) - \sin(x) - \sin(2x) - \sin(\pi - 3x) & 0 \leqslant x \leqslant \pi/6 \\ \cos(x) + \cos(\pi/3) + \cos(2\pi/3 - x) - \sin(x) - \sin(\pi/3) - \sin(2\pi/3 - x) & \pi/6 < x \leqslant \pi/3\end{cases}}.

Η g είναι συνεχής με g(0) > 0 και g(\pi/6) < 0 άρα από Bolzano υπάρχει 0 < x < \pi/3 με g(x) = 0. Αν 0 < x \leqslant \pi/6, το τρίγωνο με γωνίες x,2x,\pi-3x είναι σκαληνό και ικανοποιεί το ζητούμενο. Αν \pi/6 < x < \pi/3, το τρίγωνο με γωνίες x,\pi/3,2\pi/3-x είναι σκαληνό και ικανοποιεί το ζητούμενο.

Επεξεργασία: Όπως με ενημέρωσε ο Γιώργος Μπαλόγλου μπορούμε να απλοποιήσουμε το πιο πάνω παράδειγμα και να αρκεστούμε στον πρώτο κλάδο. Δηλαδή αρκεί να δουλέψουμε μόνο με την h:[0,\pi/6] \to \mathbb{R} με h(x) = \cos(x) + \cos(2x) + \cos(\pi - 3x) - \sin(x) - \sin(2x) - \sin(\pi - 3x). [Στον δεύτερο κλάδο δεν υπάρχει καμία λύση.]


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης