Εύρεση τύπου

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εύρεση τύπου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Οκτ 21, 2011 11:30 pm

Έστω η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to R} που είναι τέτοια ώστε να ισχύει \displaystyle{f\left( x \right) - f\left( {\frac{x}{2}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{x}{4}} \right) = 2x} για κάθε \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}. Να βρείτε τον τύπο της \displaystyle{f}.

Χαρισμένη στους Μουλιανητάκη Κώστα, Βλαχόπουλο Γιώργο και Βασίλη Λαμπρόπουλο (ιδιοκατασκευή).


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Οκτ 22, 2011 9:02 am

θέτω \displaystyle{g(x)=f(x)-\frac{1}{2}f(\frac{x}{2})} η δοσμένη σχέση γίνεται

\displaystyle{g(x)-\frac{1}{2}g(\frac{x}{2})=2x}

\displaystyle{\frac{1}{2^{n-1}}g(x)-\frac{1}{2^n}g(\frac{x}{2})=2x\frac{1}{2^{n-1}}}

\displaystyle{\frac{1}{2^{n-1}}g(\frac{x}{2^{n-1}})-\frac{1}{2^n}g(\frac{x}{2^n})=2x\frac{1}{4^{n-1}}}

δίνω τιμες στο \displaystyle{n=1,2,...,n} προσθέτω τις σχέσεις και παίρνω όρια όταν \displaystyle{n\to +\infty} προκύπτει

\displaystyle{g(x)-0=2x\frac{1}{1-1/4}=\frac{8x}{3}}

άρα \displaystyle{\frac{1}{2^{n-1}}f(\frac{x}{2^{n-1}})-\frac{1}{2^n}f(\frac{x}{2^n})=(8x/3)\frac{1}{4^{n-1}}}

επαναλαμβάνοντας τα ίδια \displaystyle{f(x)-0=(8x/3)(4/3)=(32/9x}


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 22, 2011 8:40 pm

Ναι! Έχω λύση σε σχολικό πλαίσιο.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση τύπου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Οκτ 22, 2011 10:47 pm

Θέτουμε g(x)=f(x)-\displaystyle{\frac{32}{9}x}.

Τότε \displaystyle{g(x)=g(\frac{x}{2})-\frac{1}{4}g(\frac{x}{4})}.

Θέτουμε κατόπιν h(x)=g(x)-\displaystyle{\frac{1}{2}g(\frac{x}{2})}. (Αυτό το δανείστηκα από το Ροδόλφο :) )

Τότε h(x)=\displaystyle{\frac{1}{2}h(\frac{x}{2})}.

Τα παραπάνω ισχύουν για κάθε x στο [0,1].

Αν M η μέγιστη τιμή της |h| στο [0,1] τότε \left| h(x)\right|\leq \displaystle{\frac{1}{2}M}.

Άρα M\leq \displaystyle{\frac{1}{2}M} οπότε M=0.

Επομένως h(x)=0 για κάθε x στο [0,1].

Άρα g(x)=\displaystyle{\frac{1}{2}g(\frac{x}{2})} οπότε ομοίως g(x)=0 για κάθε x στο [0,1].

Επομένως f(x)=\displaystyle{\frac{32}{9}x} για κάθε x στο [0,1].

Η ιδέα είναι δανεισμένη από το Βαγγέλη viewtopic.php?f=52&t=11295 :)

Πολλά δάνεια παίρνω, να δω που θα με βγάλει.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 22, 2011 11:38 pm

Αυτή ακριβώς είναι η λύση μου Παύλε :clap: , την ιδέα την πήρα από μια πολύ ωραία λύση που εφάρμοσε ο Νίκος Ζανταρίδης εδώ viewtopic.php?f=59&t=16137 και την άσκηση την εμπνεύστηκα από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=438353 όπου φωτογραφίζεται και ο τρόπος του Ροδόλφου αρκετά αναλυτικότερα. Η λύση μπορεί να επεκταθεί στο \displaystyle{\left[ {0,\alpha } \right],\alpha  > 0} ώστε μετά να γενικευτεί στο \displaystyle{R} ΄(ποτέ δεν κατάλαβα την σχολικότητα της επέκτασης στο \displaystyle{R}...)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Οκτ 22, 2011 11:50 pm

Δεν με είχε καλύψει ούτε και τούτο...viewtopic.php?f=111&t=17622


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση τύπου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Οκτ 23, 2011 5:03 pm

και για να είναι μαζεμένες οι ξαδέρφες, έχουμε και αυτήν viewtopic.php?f=53&t=17304
αλλά και τούτη viewtopic.php?f=69&t=11368, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=324632.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης