Εύρεση τύπου

mathxl · #1

Μου φάνηκε γνωστό και το έβγαλα... αλλά επειδή είναι λίγο ασυνήθειστο, το βάζω στα θέματα με απαιτήσεις

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{ f: [0,1]\to\mathbb{R} }$
τέτοιες ώστε να ισχύει $\displaystyle{\displaystyle \int_{0}^{1}g(x)dx=\int_{0}^{1}f(g(x))dx, }$ για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{ g: [0,1]\to A }$ , όπου Α υποσύνολο του [0,1]

#2

Θέτω $g(x)=y , y\in R$ τότε η δοσμένη γράφεται
$\int_{0}^{1}{ydx}=\int_{0}^{1}{f(y)dx}$ ή y=f(y)

που ισχυει γα οποιοδήποτε πραγματικό y και επαληθεύει την αρχική

mathxl · #3

Ας υποθέσουμε ότι η παραπάνω λύση δεν είναι μοναδική άρα θα υπάρχει κάποιο y πραγματικό τέτοιο ώστε f(y) διαφορετικό του y
Αφού η σχέση μας ισχύει για οποιαδήποτε g, θα ισχύει και για την g(x)=y
Με την αντικατάσταση g(x)=y στην σχέση με τα ολοκληρώματα παίρνουμε y=f(y) άτοπο
Συνεπώς η λύση μας είναι μοναδική

ΥΓ: Ψάχνοντας για άλλη διεύθυνση, βρήκα αυτήν που ο Kent Merryfield αποδεικνύει την μοναδικότητα όπως παραπάνω

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση