Εύρεση συνάρτησης

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 26, 2009 4:38 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοιες ώστε

\bullet \ f(f(x))=x+4 \ \forall x \in \mathbb{R}
\bullet υπάρχει το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}( f(x)-x)}
:)


Θανάσης Κοντογεώργης
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Αύγ 26, 2009 5:15 pm

Διαγράφω γιατί έκανα ένα τρομερό λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Ωmega Man σε Πέμ Αύγ 27, 2009 12:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
mtsarduckas
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Πέμ Απρ 09, 2009 9:44 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mtsarduckas » Τετ Αύγ 26, 2009 5:58 pm

Μία γρήγορη ερώτηση: Πως ξέρουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f ;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Εύρεση συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Αύγ 26, 2009 6:05 pm

mtsarduckas έγραψε:Μία γρήγορη ερώτηση: Πως ξέρουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f ;
καί μιά γρήγορη απάντηση:

f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow \quad f(f(x_1))=f(f(x_2))\quad\Rightarrow \quad x_1+4=x_2+4\quad\Rightarrow
x_1=x_2\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
mtsarduckas
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Πέμ Απρ 09, 2009 9:44 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mtsarduckas » Τετ Αύγ 26, 2009 6:07 pm

Ευχαριστώ πάρα πολύ!


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Σεπ 02, 2009 12:32 pm

Επαναφέρω το θέμα. :)


Θανάσης Κοντογεώργης
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Τετ Σεπ 02, 2009 1:15 pm

Ετσι οπως το βλεπω,
θετουμε h(x)+x=f(x), οριο της h στο απειρο εστω k(real)
Τοτε,h(h(x)+x)=4-h(x) => k=4-k =>k=2 επαληθευοντας f(x)=x+2


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Σεπ 03, 2009 3:04 pm

Ilias_Zad έγραψε:
Ετσι οπως το βλεπω,
θετουμε h(x)+x=f(x), οριο της h στο απειρο εστω k(real)
Τοτε,h(h(x)+x)=4-h(x) => k=4-k =>k=2 επαληθευοντας f(x)=x+2
Ίσως κάτι δεν βλέπω... Πώς προκύπτει από \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}h(x)=2 ότι f(x)=x+2};
το k δεν είναι απαραίτητα πραγματικός :)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Σεπ 03, 2009 4:24 pm

socrates έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοιες ώστε

\bullet \ f(f(x))=x+4 \ \forall x \in \mathbb{R}
\bullet υπάρχει το όριο \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}( f(x)-x)}
:)
Αναρωτιέμαι αν υπάρχει παράδειγμα μη πολυωνικής συνάρτησης που να ικανοποιεί την πρώτη απαίτηση...
Αν δεν υπάρχει, τότε η πρώτη απαίτηση εγγυάται ότι είναι η x+2...


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Πέμ Σεπ 03, 2009 5:15 pm

εχεις δικιο socrates, βιαζομουν και τα εγραψα τελειως ασχημα προσπαθωντας να δωσω μια υποδειξη..
Βαζω ολη την λυση που ειχα σκεφτει,στηριζομενος στο οτι βρηκα πανω το οριο 2.(ειναι σαφως πεπερασμενο οπως φαινεται παρακατω)
Ειναι f(x+4)-f(x)=4, αρα μπορουμε να δουμε οτι,
f(x+4k)-(4k+x)=f(x)-x \leftrightarrow h(x+4k)=h(x)(γιατι;), για καθε x real , k φυσικο.
σταθεροποιουμαι το x σε εναν τυχαιο πραγματικο και παιρνουμε k να τεινει στο +00, τοτε ομως, f(x_0)=x_0+2
ελπιζω να ειναι οκ τωρα
ΥΓ χρησιμοποιω την προταση πως αν f(x) -> x_0, x->+inf , τοτε με ακολουθια a_n->+inf, ισχυει f(a_n) -> x_0


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Σεπ 05, 2009 10:48 pm

Ilias_Zad έγραψε:εχεις δικιο socrates, βιαζομουν και τα εγραψα τελειως ασχημα προσπαθωντας να δωσω μια υποδειξη..
Βαζω ολη την λυση που ειχα σκεφτει,στηριζομενος στο οτι βρηκα πανω το οριο 2.(ειναι σαφως πεπερασμενο οπως φαινεται παρακατω)
Ειναι f(x+4)-f(x)=4, αρα μπορουμε να δουμε οτι,
f(x+4k)-(4k+x)=f(x)-x \leftrightarrow h(x+4k)=h(x)(γιατι;), για καθε x real , k φυσικο.
σταθεροποιουμαι το x σε εναν τυχαιο πραγματικο και παιρνουμε k να τεινει στο +00, τοτε ομως, f(x_0)=x_0+2
ελπιζω να ειναι οκ τωρα
ΥΓ χρησιμοποιω την προταση πως αν f(x) -> x_0, x->+inf , τοτε με ακολουθια a_n->+inf, ισχυει f(a_n) -> x_0
Nice!

Λίγο διαφορετικά,
μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι h(x)=h(x+4), δηλ περιοδική, άρα για να υπάρχει το όριο πρέπει η h να είναι σταθερή \implies f(x)=x+c \implies f(x)=x+2.

:)


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης