Μεγιστο Ελαχιστο Συναρτησης

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Μεγιστο Ελαχιστο Συναρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Κυρ Οκτ 11, 2009 6:49 pm

Δινεται η συναρτηση \displaystyle{f(\varepsilon \phi (x)) = \eta \mu \left( {2x} \right)}ορισμενη επι του διαστηματος \displaystyle{\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)}.Να βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης \displaystyle{ 
f\left( {\eta \mu ^3 \left( x \right)} \right) \cdot f\left( {\sigma \upsilon \nu ^3 \left( x \right)} \right)}.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Μεγιστο Ελαχιστο Συναρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Οκτ 12, 2009 2:48 pm

Η εφχ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη στο (-π/2,π/2) άρα αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών (σύνολο ορισμού αντίστροφης) το R (Ο Ρούλης).Ας συμβολίσουμε με g^(-1)(x) την αντίστροφη της.
\begin{array}{l} 
 f\left( {\varepsilon \varphi \left( {{g^{ - 1}}\left( x \right)} \right)} \right) = \eta \mu \left[ {2{g^{ - 1}}\left( x \right)} \right],x \in R \Leftrightarrow  \\  
 f\left( x \right) = \eta \mu \left[ {2{g^{ - 1}}\left( x \right)} \right],x \in R \\  
 \end{array}

Οπότε
f\left( {\eta {\mu ^3}x} \right) \cdot f\left( {\sigma \upsilon {\nu ^3}x} \right) = \eta \mu \left[ {2{g^{ - 1}}\left( {\eta {\mu ^3}x} \right)} \right] \cdot \eta \mu \left[ {2{g^{ - 1}}\left( {\sigma \upsilon {\nu ^3}x} \right)} \right] =
= \frac{{2\varepsilon \varphi \left( {{g^{ - 1}}\left( {\eta {\mu ^3}x} \right)} \right)}}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\left( {{g^{ - 1}}\left( {\eta {\mu ^3}x} \right)} \right)}} \cdot \frac{{2\varepsilon \varphi \left( {{g^{ - 1}}\left( {\sigma \upsilon {\nu ^3}x} \right)} \right)}}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\left( {{g^{ - 1}}\left( {\sigma \upsilon {\nu ^3}x} \right)} \right)}} =
= \frac{{2\eta {\mu ^3}x}}{{1 + \eta {\mu ^6}x}} \cdot \frac{{2\sigma \upsilon {\nu ^3}x}}{{1 + \sigma \upsilon {\nu ^6}x}}
Από εδώ και πέρα νομίζω προχωράει

Μπορούμε να δουλέψουμε και ως εξής
f\left( {\varepsilon \varphi x} \right) = \eta \mu 2x = \frac{{2\varepsilon \varphi x}}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}x}}
Άρα
f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}},x \in R


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Μεγιστο Ελαχιστο Συναρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Δευ Οκτ 12, 2009 10:32 pm

Σωστα τα οσα αναφερει ο Βασιλης παραπανω.Ομως εκει που λεει οτι προχωραει εκει μαλλον θα κολλησουμε.Πως συνεχιζουμε θετουμε u=sin(x)*cos(x) = 1/2 sin(2x) και φτιαχνουμε συναρτηση του u με u ανηκει στο [-1/2,1/2] και ψαχνουμε κανονικα για μεγιστο και ελαχιστο.Μεγιστο για u=1/2 και ελαχιστο για u=-1/2.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης