Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Ορίζουμε την συνάρτηση
, η οποία είναι συνεχής στο και επίσης άρα από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε , δηλαδή υπάρχει διάστημα με ώστε , . Ομοίως για την
, η οποία είναι συνεχής στο και επίσης άρα από το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε , δηλαδή υπάρχει διάστημα με ώστε , . Ομοίως για την
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Εναλλακτικά μπορούμε να δουλέψουμε και με την
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Μιας και ξανατέθηκε εδώ viewtopic.php?f=59&t=36417, θα με ενδιέφερε μια λυκειακή λύση.
Γιώργος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Επαναφορά.
Νομίζω ότι δεν είναι κατάλληλος ο φάκελος
αν και η λύση που έχω είναι με σχολική ύλη .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Νομίζω η ακόλουθη είναι εντός σχολικής ύλης.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Φεβ 01, 2019 11:06 amΕπαναφορά.
Νομίζω ότι δεν είναι κατάλληλος ο φάκελος
αν και η λύση που έχω είναι με σχολική ύλη .
Δίνω μόνο περίληψη γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας (πρέπει να πάω τυπογραφείο σε δυο μέρες. Πανικός).
Εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει (μοναδικό) με και άρα
Όμοια, για κάθε υπάρχει (μοναδικό) με (η μοναδικότητα έπεται από το γεγονός ότι η είναι γνήσια θετική και άρα το ολοκλήρωμα αυξάνει με το άνω άκρο του). Υπόψη ότι η δίνει .
H είναι συνεχής καθώς ισχύει (απλό) (βγαίνει από τις ισότητες )
Όμοια για την ορίζουμε μία αντίστοιχη
Αν , τελειώσαμε. Χωρίς βλάβη, λοιπόν, . Άρα
, οπότε
, από όπου που μαζί με την δίνει ότι
υπάρχει με .
Με άλλα λόγια παίρνουμε και τελειώσαμε.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Μία γενίκευση (εν μέρει στο πνεύμα της λύσης του Μιχάλη):
Έστω συνεχείς συναρτήσεις με φθίνουσα και αύξουσα (ή αντίστροφα) και . Τότε, για κάθε υπάρχει υποδιάστημα ώστε: .
Απόδειξη: Λόγω αντιθέτων μονοτονιών υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε , για , για . Η δοθείσα συνθήκη , ισοδύναμη προς την , μαζί με τις δοθείσες μονοτονίες και συνέχειες, συνεπάγεται ότι για κάθε υπάρχει καλώς ορισμένο τέτοιο ώστε
Θέτοντας τώρα , παρατηρούμε ότι , (λόγω των , ). Λόγω συνέχειας υπάρχει τέτοιο ώστε . Η ζητούμενη γενίκευση προκύπτει για .
[Οι συνθήκες μονοτονίας μάλλον δεν είναι απαραίτητες. Μπορούν να απαλυνθούν ή ίσως και να παραλειφθούν. Δεν είναι κάτι που βλέπω αυτήν την στιγμή πως μπορεί να γίνει, αλλά μπορεί να επανέλθω αν δεν το καταφέρει κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω εδώ το παράδειγμα των , , όπου τα , προκύπτουν από τις , .]
Έστω συνεχείς συναρτήσεις με φθίνουσα και αύξουσα (ή αντίστροφα) και . Τότε, για κάθε υπάρχει υποδιάστημα ώστε: .
Απόδειξη: Λόγω αντιθέτων μονοτονιών υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε , για , για . Η δοθείσα συνθήκη , ισοδύναμη προς την , μαζί με τις δοθείσες μονοτονίες και συνέχειες, συνεπάγεται ότι για κάθε υπάρχει καλώς ορισμένο τέτοιο ώστε
Θέτοντας τώρα , παρατηρούμε ότι , (λόγω των , ). Λόγω συνέχειας υπάρχει τέτοιο ώστε . Η ζητούμενη γενίκευση προκύπτει για .
[Οι συνθήκες μονοτονίας μάλλον δεν είναι απαραίτητες. Μπορούν να απαλυνθούν ή ίσως και να παραλειφθούν. Δεν είναι κάτι που βλέπω αυτήν την στιγμή πως μπορεί να γίνει, αλλά μπορεί να επανέλθω αν δεν το καταφέρει κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω εδώ το παράδειγμα των , , όπου τα , προκύπτουν από τις , .]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
Για να παραλειφθούν ας μην γίνεται λόγος, καθώς ... όπως δείχνει το παρακάτω απλό παράδειγμα όπου οι δύο ισοεμβαδικές συναρτήσεις τέμνονται σε περισσότερα του ενός σημεία, δεν είναι δυνατόν να προκύψουν ίσα υποεμβαδά που να πλησιάζουν 'πολύ' το αρχικό εμβαδόν: αυτό γίνεται φανερό από την γεωμετρία και μόνον (αν κόψουμε 'πολύ' κοντά στα άκρα του διαστήματος, όπου η μία συνάρτηση υπερέχει της άλλης, δεν είναι δυνατόν να προκύψουν ίσα υποεμβαδά), αργότερα ελπίζω να στείλω και τις σχετικές εξισώσεις.
Ίσως λοιπόν να επαρκεί η ύπαρξη ακριβώς ενός σημείου τομής των δύο ισοεμβαδικών συναρτήσεων ... για ίσα υποεμβαδά πολύ κοντά στο αρχικό εμβαδόν, θα δούμε...
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ισοεμβαδικές συναρτήσεις
[Από τις 6 δυνατές περιπτώσεις και , και , και , και , και , και , οι μόνες δύο που χρειάζεται να εξεταστούν είναι η πρώτη και η τελευταία: στην πρώτη ( και ) η συνθήκη δίνει και , οπότε , στην τελευταία ( και ) η συνθήκη δίνει και (KAI λόγω ), οπότε .]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες