Ανισότητα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Μια απόδειξη εκτός ύλης, με χρήση της ανισότητας Chebyshev.

Καταρχάς, λόγω του άρτιου της ολοκληρωτέας συνάρτησης είναι

$\displaystyle{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x}dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x}dx}$

Θα αποδείξουμε ότι το

$\displaystyle{\rm J:=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x}dx> \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.}$

Με την αλλαγή $\displaystyle{\frac{\pi}{2}-x=u}$ βλέπουμε ότι

$\displaystyle{J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin x}dx.}$

Επίσης, παρατηρούμε ότι με την αλλαγή $\displaystyle{2x=u}$ είναι

$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin x}dx=\frac{1}{2}\Big(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin x}dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sqrt{\sin x}dx\Big)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x}dx}$ ,

όπου στο δεύτερο ολοκλήρωμα της παρένθεσης έγινε η αλλαγή $\displaystyle{\pi-x=u.}$

Δηλαδή

$\displaystyle{J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin 2x}dx}$ .

Τώρα, από την ανισότητα Chebyshev στις συναρτήσεις $\displaystyle{\sqrt{\cos x},\sqrt{\sin x}}$ , οι οποίες έχουν "ανάποδη" μονοτονία έχουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x}dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin x}dx>\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin x\cos x}dx=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin 2x}dx}$

άρα

$\displaystyle{J^2>\frac{\pi}{2\sqrt{2}}J\implies J>\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

Ορέστη, γιατί το άνω άκρο στο πρώτο ολοκλήρωμα είναι $\displaystyle{\sqrt{2}}$ ;

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση