Ευρεση Συναρτησης

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Ευρεση Συναρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Νοέμ 07, 2009 12:49 am

Να βρειτε ολες τις συναρτησεις f(x) (αν υπαρχουν) με \displaystyle{x \in R - \{ 0\ , 1\} } ωστε :

\displaystyle{ 
f\left( {f(x)} \right) = \frac{1}{{f\left( {\frac{1}{x}} \right)}} 
}
τελευταία επεξεργασία από papel σε Τρί Νοέμ 10, 2009 12:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: Ευρεση Συναρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jeronymo Simonstone » Δευ Νοέμ 09, 2009 11:40 pm

Αμέσως βλέπω ότι η ταυτοτική συνάρτηση την επαληθεύει... :shock:


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ευρεση Συναρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Νοέμ 09, 2009 11:44 pm

Και οι σταθερές +1, -1 και δεν υπάρχουν άλλες πολυωνυμικές!!!


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Ευρεση Συναρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Τρί Νοέμ 10, 2009 12:05 am

Μηπως μας κανει και η \displaystyle{f(x) = 1 - \frac{1}{x}} ?


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ευρεση Συναρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 10, 2009 1:44 am

Υπάρχουν πάρα πολλές συναρτήσεις ιδίως αν χρησιμοποιήσουμε το αξίωμα της επιλογής.

Για παράδειγμα μπορούμε να ορίσουμε f(-1)=-1 να χωρίσουμε το \mathbb{R} \setminus \{-1,0,1\} σε εξάδες \{a,b,c,1/a,1/b,1/c\} και να ορίσουμε f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a,f(1/a)=1/c,f(1/b)=1/a,f(c)=1/b. Εύκολα ελέγχεται ότι κάθε τέτοια συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες. (Υπάρχουν και άλλες. Νομίζω με λίγη περισσότερη προσπάθεια μπορούν να βρεθούν όλες)


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ευρεση Συναρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 10, 2009 12:52 pm

Νομίζω τώρα έχω βρει όλες τις συναρτήσεις.

(1) Υπάρχει μοναδικό x ώστε f(x) = 1/x:
Ύπαρξη: Αν f(-1) = -1 τελειώσαμε. Αν f(-1) = x \neq -1 τότε f(x)f(-1) = 1 άρα f(x) = 1/x.
Μοναδικότητα: Αν f(x) = 1/x τότε f(1/x)^2 = 1 άρα f(1/x) = -1. (Το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού και άρα δεν μπορεί να ανήκει στο πεδίο τιμών: Αν f(y) = 1 τότε η δοσμένη ισότητα δεν έχει νόημα για x=y.) Άρα f(-1)f(x) = 1 και άρα f(-1) = x που αποδεικνύει την μοναδικότητα του x.

(2) Αν f(x) = f(y) τότε f(1/x) = f(1/y).

(3) Αν f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d τότε βάζοντας διαδοχικά x=a,b,1/a,1/b,1/d παίρνουμε f(1/a)=1/c,f(1/b)=1/d,f(1/c)=1/b,f(1/d)=1/c,f(d)=b

(4) Αν το x ανήκει στο πεδίο τιμών τότε υπάρχουν y,z ώστε f(x)=y,f(y)=z,f(z)=x,f(1/x)=1/z,f(1/y)=1/x,f(1/z)=1/y. (Από την (3) με x=b,y=c,z=d.)

(5) Αν x,y,z όπως στην (4) τότε
- Είτε x,y,z,1/x,1/y,1/z είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους
- Είτε x=y=z
- Είτε \{x,y,z,1/x,1/y,1/z\} = \{-1,w,1/w\} για κάποιο w.

Βάζοντας όλα τα παραπάνω μαζί (και αν δεν έχω κάποιο λάθος) τότε μπορούμε να πάρουμε όλες τις συναρτήσεις με τον εξής τρόπο:

(Α) Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού στα \{x,1/x\} και από το κάθε ζεύγος παίρνουμε ένα αντιπρόσωπο. (Από το \{-1\} παίρνουμε το -1.) Έστω X το σύνολο που δημιουργήται. (Έχουμε -1 \in X.)

(B) Xωρίζουμε το X σε ένα σύνολο W (πιθανώς κενό) με -1 \notin W, στο σύνολο \{-1,x_1\}, σε τριάδες \{x,y,z\} και σε μονοσύνολα \{x\}.

(Γ)
- Ορίζουμε f(-1)=x_1,f(x_1) = 1/x_1,f(1/x_1)=-1.
- Για κάθε μονοσύνολο \{x\} ορίζουμε f(x) = x, f(1/x) = 1/x.
- Για κάθε τριάδα \{x,y,z\} ορίζουμε f(x)=y,f(y)=z,f(z)=x,f(1/x)=1/z,f(1/y)=1/x,f(1/z)=1/y ή f(x)=z,f(z)=y,f(y)=x,f(1/x)=1/y,f(1/z)=1/x,f(1/y)=1/z
- Τέλος για κάθε w \in W παίρνουμε ένα x με x,1/x \notin W και ορίζουμε f(w)=f(x) και f(1/w) = f(1/x). (Επειδή x,1/x \notin W είτε x \in X \setminus W είτε 1/x \in X \setminus W και άρα τα f(x),f(1/x) έχουν ήδη οριστεί.)

Μπορεί να ελεγχθεί ότι κάθε τέτοια συνάρτηση ικανοποιεί την δοσμένη συνθήκη. Το αξίωμα της επιλογής έχει χρησιμοποιηθεί και στο (Α) (όταν παίρνουμε ένα στοιχείο από κάθε ζεύγος) και στο (Β) για να πετύχουμε τον διαμερισμό και στο (Γ) όταν αποφασίζουμε για κάθε τριάδα με πιο από τους δυο διαφορετικούς τρόπους θα ορίσουμε τις τιμές και όταν για κάθε w \in W διαλέγουμε ένα ξεχωριστό x.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ευρεση Συναρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Νοέμ 10, 2009 1:42 pm

Απίστευτη δουλειά Δημήτρη


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Ευρεση Συναρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Τρί Νοέμ 10, 2009 2:49 pm

Αυτή είναι άσκηση για 3η λυκείου????? :?:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ευρεση Συναρτησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 10, 2009 3:43 pm

Dimitris X έγραψε:Αυτή είναι άσκηση για 3η λυκείου????? :?:


Είναι στα θέματα με απαιτήσεις. :lol:

Αν δεν έχω κάνει καμιά γκάφα τότε σίγουρα δεν είναι 3ης λυκείου. Φαντάζομαι ότι είτε δόθηκε λάθος η συνθήκη είτε κάπου χάθηκε κάποια άλλη συνθήκη (π.χ. συνέχειας/μονοτονίας).


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ευρεση Συναρτησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Οκτ 31, 2012 4:26 pm

Με μια ακόμη συνθήκη:
viewtopic.php?p=99259#p99259


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης