Σελίδα 1 από 1
Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 08, 2013 12:33 pm
από thanasis kopadis
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί
για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
,
με και
α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του
στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.
β) Έστω οι μιγαδικοί
με
,
και
.
Δίνεται και η εξίσωση
, με ρίζες τους
Να αποδείξετε ότι:
i) Οι
δεν είναι πραγματικοί αριθμοί και ότι
ii) Ισχύει:
γ) Να βρείτε την απόσταση των εικόνων
των μιγαδικών
και
αντίστοιχα, στο μιγαδικό επίπεδο.
(Δόθηκε επιπλέον δεδομένο, μετά από την παρατήρηση του συνάδελφου Μάγκου Θάνου)
Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 08, 2013 1:02 pm
από matha
thanasis kopadis έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί
για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:
και
α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του
στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.
Νομίζω υπάρχει πρόβλημα στο πρώτο ερώτημα, εκτός αν δε βλέπω εγώ κάτι.
Είναι
Επειδή το
είναι πραγματικός, θετικός, είναι
Ωστόσο, έχουμε πρόβλημα με το
Εκ των προτέρων δε γνωρίζουμε ότι ο εκθέτης
είναι θετικός ακέραιος, ώστε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα
Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 08, 2013 1:11 pm
από thanasis kopadis
Έχεις δίκιο.Δεν το είχα σκεφτεί. Ίσως να μπορεί να βελτιωθεί με το επιπλέον δεδομένο
Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση.
Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 08, 2013 3:19 pm
από dennys
1) Αφήνω στο 1 μέλος το
και μετράρω και θέτοντας
αρα τριώνυμο και απλά
2)οι σχέσεις που δίνονται σημαίνουν οτι οι
κινούνται στο ίδιο τεταρτημόριο και συνεπώς
το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα , αρα
δεν είναι πραγματικοί.αρα είναι μιγαδικοί συζυγείς .
Ετσι
απο Vieta .
3) Ξεκινώντας απο το 1 μέλος με πράξεις
εύκολο απο Vieta
4)
Βουτσάς Διονυσης (dennys)
Re: Μιγαδικοί αριθμοί (επαναληπτικό)
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 08, 2013 4:57 pm
από thanasis kopadis
Ευχαριστώ Διονύση για την ενασχόληση.
Μια άλλη προσέγγιση για το ερώτημα β).
i) Θέτω
και
με
και
. Άρα το τριώνυμο έχει δύο ρίζες
που δεν είναι πραγματικές και άρα είναι συζυγείς μιγαδικοί.
, αφού οι
έχουν ίσα μέτρα, ως συζυγείς.
ii) Eίναι
Οπότε
Δηλαδή
Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει:
, οπότε το ζητούμενο.