Υπαρξιακή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Υπαρξιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 28, 2015 5:13 pm

Έστω f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi\in [0,1] τέτοιο ώστε
\frac{4}{\pi}(f(1)-f(0))=(1+\xi^2)f'(\xi).


Σιλουανός Μπραζιτίκος
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Υπαρξιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Σάβ Μαρ 28, 2015 5:56 pm

Καλησπέρα Σιλουανέ.Μια λύση εκτός φακέλου.

Ξέρουμε πως \displaystyle{(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}}.Έστω λοιπόν \displaystyle{g(x)=f(x)-\frac{4}{\pi}\cdot (f(1)-f(0))\cdot \arctan x \ , \ x \in \mathbb{R}}.

Ισχύει \displaystyle{g(0)=f(0)-\frac{4}{\pi}\cdot (f(1)-f(0))\cdot \arctan 0=f(0)} αφού \displaystyle{\arctan 0=0}.

Επίσης \displaystyle{g(1)=f(1)-\frac{4}{\pi}\cdot (f(1)-f(0))\cdot \arctan 1=f(1)-\frac{4}{\pi}\cdot (f(1)-f(0))\cdot \frac{\pi}{4}=f(0)}.

Αφού \displaystyle{g(0)=g(1)} και η \displaystyle{g} είναι παραγωγίσιμη,από το θεώρημα Rolle παίρνουμε πως υπάρχει \displaystyle{\xi \in (0,1)} τέτοιο ώστε

\displaystyle{g'(\xi)=0\Leftrightarrow f'(\xi)=\frac{4}{\pi}\cdot (f(1)-f(0))\cdot \frac{1}{1+\xi^{2}} που είναι το ζητούμενο αποτέλεσμα.

\rule{420pt}{1pt}

Να πω πως \displaystyle{f(x)=\arctan x} είναι η αντίστροφη συνάρτηση της \displaystyle{\tan x}.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2174
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Μαρ 28, 2015 5:58 pm

εφαρμόζω το ΘΜΤ για την \displaystyle{f(tanx)} στο \displaystyle{[0,\pi /4]} ισχύουν όλες οι προυποθέσεις

\displaystyle{f(tan(\pi /4))-f(tan(0))=\pi /4 (1+tan^2u)f'(tanu)} δηλαδή me \displaystyle{\xi=tanu}

\displaystyle{4/\pi (f(1)-f(0))=(1+\xi^2)f'(\xi) , 0<\xi <1}


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1246
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Υπαρξιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 28, 2015 6:30 pm

Γιώργο και Ροδόλφε καλησπέρα!
Η λύση του Γιώργου είναι ίδια με τη δική μου, η λύση του Ροδόλφου είναι η επίσημη λύση. Πρόκειται για άσκηση από τον διαγωνισμό Vojtech Jarnik.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπαρξιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 28, 2015 7:38 pm

smar έγραψε:Έστω f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει \xi\in [0,1] τέτοιο ώστε
\frac{4}{\pi}(f(1)-f(0))=(1+\xi^2)f'(\xi).
Kαι αλλιώς: Από το Θ.Μ.Τ. του Cauchy για τις f και g με g(x)=\arctan x έχουμε

\displaystyle{ \frac {f(1)-f(0)}{\arctan1 - \arctan 0}= \frac {f'(\xi)}{\frac {1}{1+\xi ^2}}

που είναι ακριβώς η αποδεικτέα.

Μ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης