Όχι ΘΜΤ
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15779
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όχι ΘΜΤ
Χωρίς βλάβη στην γενικότητα υπάρχουν τέτοια ώστε (για την ανάποδη ανισότητα εργαζόμαστε όμοια).exdx έγραψε:Έστω η συνάρτηση , δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα :
υπάρχει ώστε για κάθε με να ισχύει : .
Να αποδείξετε ότι .
Έστω . Θα δείξω πρώτα ότι ισχύει . Πράγματι, έστω (η ισότητα αποκλείεται από την υπόθεση). Τότε από το Θ.Μ.Τ. στην θα υπήρχε στο μεσοδιάστημα των με , που αντιβαίνει στην υπόθεση.
Όμοια, αν , ισχύει . Στη αντίθετη περίπτωση θα οδηγηθούμε σε άτοπο καθώς από το Θ.Μ.Τ. στην θα υπήρχε στο μεσοδιάστημα των με , που πάλι αντιβαίνει στην υπόθεση.
Έστω τώρα τυχαίο. Διακρίνοντας περιπτώσεις όπου ή (που εξαντλούν όλες τις εκδοχές αφού ) και με παρόμοιο συλλογισμό μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε που ικανοποιεί ή, αντίστοιχα, , ισχύει .
Παίρνοντας όριο στην τελευταία, έπεται . Αυτό σημαίνει ότι το είναι ολικό ελάχιστο της . Συμπεραίνουμε ότι , όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Μιχάλης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1758
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Όχι ΘΜΤ
Ωραία και άμεση λύση σε αντίθεση με την παρακάτω :
Η δοσμένη σχέση γράφεται :
Θεωρούμε τη συνάρτηση οπότε από την έχουμε ότι :
άρα η είναι και αφού είναι συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη
(αυτό απαιτεί απόδειξη , πχ. εδώ)
‘Αρα η θα είναι γνησίως αύξουσα οπότε (το οποίο επίσης θέλει απόδειξη . Δείτε μια σχετική συζήτηση εδώ )
Ομοίως αν η είναι γνησίως φθίνουσα τότε
Αυτό συνεπάγεται , για κάθε
είτε , για κάθε
Σε κάθε περίπτωση η έχει ακρότατο για οπότε από το θεώρημα Fermat προκύπτει ότι
Ερώτηση (χωρίς απάντηση ) : Είναι αρκετά τα δεδομένα για να ισχυριστούμε ότι η παρουσιάζει σημείο καμπής για ;
Η δοσμένη σχέση γράφεται :
Θεωρούμε τη συνάρτηση οπότε από την έχουμε ότι :
άρα η είναι και αφού είναι συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη
(αυτό απαιτεί απόδειξη , πχ. εδώ)
‘Αρα η θα είναι γνησίως αύξουσα οπότε (το οποίο επίσης θέλει απόδειξη . Δείτε μια σχετική συζήτηση εδώ )
Ομοίως αν η είναι γνησίως φθίνουσα τότε
Αυτό συνεπάγεται , για κάθε
είτε , για κάθε
Σε κάθε περίπτωση η έχει ακρότατο για οπότε από το θεώρημα Fermat προκύπτει ότι
Ερώτηση (χωρίς απάντηση ) : Είναι αρκετά τα δεδομένα για να ισχυριστούμε ότι η παρουσιάζει σημείο καμπής για ;
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Μάιος 14, 2024 7:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Όχι ΘΜΤ
Ωραίο θέμα! Το είδαμε κι εδώ:
http://artofproblemsolving.com/community/c267h243992
http://artofproblemsolving.com/community/c267h243992
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Όχι ΘΜΤ
Λίγο άκυρος χρονικά. Γράφω μια λύση η οποία πιστεύω αναδεικνύει μια χρήσιμη ιδέα:
Η ιδέα είναι να θεωρήσουμε την παρακάτω συνάρτηση, η οποία πληροί τις παρακάτω ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Ορίζουμε
Ιδιότητα 1: g συνεχής (άμεσο, αφού f παραγωγίσιμη).
Ιδιότητα 2: g παραγωγίσιμη
Πράγματι, παραγωγίσιμη στο και στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων και
, και η ιδιότητα αποδείχτηκε.
Ισχυρισμός: ή για κάθε .
Απόδειξη: Η είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και δεν μηδενίζεται ποτέ, άρα διατηρεί πρόσημο.
Αν και το θεώρημα Fermat εξασφαλίζει , όπως θέλαμε. Ομοίως και στην άλλη περίπτωση.
Το ζητούμενο έπεται.
Η ιδέα είναι να θεωρήσουμε την παρακάτω συνάρτηση, η οποία πληροί τις παρακάτω ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Ορίζουμε
Ιδιότητα 1: g συνεχής (άμεσο, αφού f παραγωγίσιμη).
Ιδιότητα 2: g παραγωγίσιμη
Πράγματι, παραγωγίσιμη στο και στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων και
, και η ιδιότητα αποδείχτηκε.
Ισχυρισμός: ή για κάθε .
Απόδειξη: Η είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και δεν μηδενίζεται ποτέ, άρα διατηρεί πρόσημο.
Αν και το θεώρημα Fermat εξασφαλίζει , όπως θέλαμε. Ομοίως και στην άλλη περίπτωση.
Το ζητούμενο έπεται.
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Όχι ΘΜΤ
Ένα μικρό σχόλιο στην όμορφη λύση του Κώστα: Η χρήση της παραπάνω συνάρτησης υπάρχει στις σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού Ι του κ. Γιαννόπουλου εδώ, στη σελίδα 110, και συγκεκριμένα αναγράφεται η ονομασία της ως Παρατήρηση του Καραθεοδωρή.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 3601
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όχι ΘΜΤ
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι δεν χρειάζεται η συνάρτηση να είναι δυο φορές παραγωγίσημη.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 29, 2015 5:04 pmΧωρίς βλάβη στην γενικότητα υπάρχουν τέτοια ώστε (για την ανάποδη ανισότητα εργαζόμαστε όμοια).exdx έγραψε:Έστω η συνάρτηση , δυο φορές παραγωγίσιμη με την ιδιότητα :
υπάρχει ώστε για κάθε με να ισχύει : .
Να αποδείξετε ότι .
Έστω . Θα δείξω πρώτα ότι ισχύει . Πράγματι, έστω (η ισότητα αποκλείεται από την υπόθεση). Τότε από το Θ.Μ.Τ. στην θα υπήρχε στο μεσοδιάστημα των με , που αντιβαίνει στην υπόθεση.
Όμοια, αν , ισχύει . Στη αντίθετη περίπτωση θα οδηγηθούμε σε άτοπο καθώς από το Θ.Μ.Τ. στην θα υπήρχε στο μεσοδιάστημα των με , που πάλι αντιβαίνει στην υπόθεση.
Έστω τώρα τυχαίο. Διακρίνοντας περιπτώσεις όπου ή (που εξαντλούν όλες τις εκδοχές αφού ) και με παρόμοιο συλλογισμό μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε που ικανοποιεί ή, αντίστοιχα, , ισχύει .
Παίρνοντας όριο στην τελευταία, έπεται . Αυτό σημαίνει ότι το είναι ολικό ελάχιστο της . Συμπεραίνουμε ότι , όπως θέλαμε.
Φιλικά,
Μιχάλης
Αρκεί να υπάρχει η .
Η ακόμα καλύτερα μπορεί να ζητηθεί ότι η έχει ολικό ακρότατο στο .
Η ουσία στην απόδειξη του Μιχάλη είναι ότι αν για κάποια είναι
τότε είναι για όλα.
Εστω ότι υπάρχουν με
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι
Θεωρούμε την
με
που προφανώς είναι συνεχής
Είναι
Aπό Θ.Ε.Τ υπάρχει με
ΑΤΟΠΟ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης