Μονοτονία συνάρτησης

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Μονοτονία συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Φεβ 03, 2010 10:46 pm

Έστω συνάρτηση f:\mathbb {R} \to \mathbb{R} με την ιδιότητα f(\frac {x^2+y^2}{x+y})>f(\frac {x+y}{2}) για κάθε x,y \in \matbb{R} με x+y \neq 0 . Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-\infty,0) και (0,+\infty)
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Φεβ 03, 2010 11:04 pm

s.kap έγραψε:Έστω συνάρτηση f:\mathbb {R} \to \mathbb{R} με την ιδιότητα f(\frac {x^2+y^2}{x+y})>f(\frac {x+y}{2}) για κάθε x,y \in \matbb{R} με x+y \neq 0 . Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-\infty,0) και (0,+\infty)
Φιλικά
Γειά σας,

θέτουμε \frac{x+y}{2}=z

Τότε η δοθείσα γράφεται

\displaystyle f(z)<f(z+\frac{(z-y)^2}{z})

Άρα για z>0 είναι γνήσια αυξουσα ενώ για z<0 είναι γνήσια φθίνουσα.

Νομίζω οτι πρέπει να δοθεί με \geq διότι αλλιώς η σχέση δεν ισχύει για x=y.

Πάντως μπορεί να έχω κάνει και λάθος.
Ωραία και πρωτότυπη άσκηση :) .


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:05 am

Αλέξανδρε, νομίζω πως στην απόδειξή σου κάτι λέιπει. Αν ας πούμε για το γνησίως αύξουσα επιλέγουμε έναν τυχαίο θετικό z και τον γράφουμε ως \frac {x+y}{2}(ως εδώ δεκτό), τότε πρέπει ο ΟΠΟΙΟΣΔΗΠΟΤΕ μεγαλύτερος του z να μπορεί να γραφεί ως z+\frac {(z-y)^2}{z}, κάτι που δεν φαίνεται στην απόδειξή σου
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:21 am

s.kap έγραψε:Αλέξανδρε, νομίζω πως στην απόδειξή σου κάτι λέιπει. Αν ας πούμε για το γνησίως αύξουσα επιλέγουμε έναν τυχαίο θετικό z και τον γράφουμε ως \frac {x+y}{2}(ως εδώ δεκτό), τότε πρέπει ο ΟΠΟΙΟΣΔΗΠΟΤΕ μεγαλύτερος του z να μπορεί να γραφεί ως z+\frac {(z-y)^2}{z}, κάτι που δεν φαίνεται στην απόδειξή σου
Φιλικά
Έχετε απόλυτο δίκιο. Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη συνεχίζουμε ως εξής:

H \displaystyle z+\frac{(z-y)^2}{z} ως συνάρτηση του y είναι πολυώνυμου δευτέρου βαθμού. Συνεπώς (π.χ με παραγώγους) βρίσκουμε οτι το [z,+\infty) είναι το πεδίο τιμών της. Οπότε για όλους τους πραγματικούς a τους μεγαλύτερους του z υπάρχει y τετοιο ώστε \displaystyle a=z+\frac{(z-y)^2}{z}.

Αυτά αν z>0. Αν z<0 πάμε ανάλογα. Ελπίζω τώρα να είναι εντάξει. :)


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Φεβ 04, 2010 6:46 am

Εξαιρετικό :clap2: :10sta10: . Με την πρώτη ευκαιρία θα γράψω και τη δική μου λύση. Τώρα ετοιμάζομαι να πάω για μάθημα
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:44 pm

Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, + \infty ). Η απόδειξη του ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty,0) είναι αντίστοιχη.
Αν a,b είναι θετικοί αριθμοί με a<b, τότε αρκεί να μπορούμε να τους γράψουμε ως a=\frac {x+y}{2} και b=\frac {x^2+y^2}{x+y}. Αν θέσουμε x+y=s και xy=p, τότε βρίσκουμε ότι s=2a και p=2a^2-ba. Συνεπώς τα x,y είναι λύσεις της εξίσωσης t^2-2at+2a^2-ba=0 , η οποία έχει δύο λύσεις πραγματικές και άνισες, γιατί D=-4a (a-b) >0 . Συνεπώς το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης