Ενδιαφέρον θέμα (β)

APOSTOLAKIS · #1

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\propto )\rightarrow R$ τέτοια ώστε
xf''(x)+2f'(x)=2

για κάθε x>0.
Η γραφική παράσταση της

διέρχεται από το σημείο A(4,3)

και η ασύμπτωτη της στο $+\propto$
έχει εξίσωση $y=\alpha x-3$ . Να βρείτε:
α) το α και τον τύπο της

.
β) Να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται τα σημεία $M(\alpha , \beta )$ του επιπέδου από τα οποία οι εφαπτόμενες που φέρονται στην $C_{f}$ να είναι κάθετες.

ΥΓ Το τελευταίο ερώτημα, αν έχω κάνει σωστά πράξεις, έχει ενδιαφέρον, όπως ποιος ο γεωμετρικός τόπος; άλλες κωνικές τομές;
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
ΟΚ συν τους περιορισμούς για τα $\alpha , \beta$ που είναι $\alpha (\beta +3-\alpha )<8$ και $\beta +3-\alpha \neq 0$
Ηταν αργα το βράδυ και επειδή με εξέπληξε το αποτέλεσμα σκέφτηκα να την ανεβάσω.

#2

APOSTOLAKIS έγραψε:Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\propto )\rightarrow R$ τέτοια ώστε
για κάθε x>0.
Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο και η ασύμπτωτη της στο $+\propto$
έχει εξίσωση $y=\alpha x-3$ . Να βρείτε:
α) το α και τον τύπο της .
β) Να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται τα σημεία $M(\alpha , \beta )$ του επιπέδου από τα οποία οι εφαπτόμενες που φέρονται στην $C_{f}$ να είναι κάθετες.

ΥΓ Το τελευταίο ερώτημα, αν έχω κάνει σωστά πράξεις, έχει ενδιαφέρον, όπως ποιος ο γεωμετρικός τόπος; άλλες κωνικές τομές;
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

... για το (α) και το μισό (β)...διορθώνοντας την υπόθεση στη διαφορική όπως είπε και ο Λάμπρος

(....ο δημιουργός βέβαια έχει το λόγο)

α) Από x{f}''(x)+2{f}'(x)=2,x>0

ισοδύναμα

${{x}^{2}}{f}''(x)+2x{f}'(x)=2x\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}{f}'(x) \right)}^{\prime }}=({{x}^{2}}{)}'\Leftrightarrow {{x}^{2}}{f}'(x)={{x}^{2}}+c\Leftrightarrow$

${f}'(x)=1+\frac{c}{{{x}^{2}}},\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ άρα $f(x)=x-\frac{c}{x}+{{c}_{1}},\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

Επειδή $y=\alpha x-3$ είναι ασύμπτωτη της ${{C}_{f}}$ στο $+\infty$ θα ισχύουν

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\alpha ,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-\alpha x \right)=-3$ .

Είναι τώρα $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{c}{{{x}^{2}}}+\frac{{{c}_{1}}}{x} \right)=1$

επομένως $\alpha =1$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-x \right)=-3\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{c}{x}+{{c}_{1}} \right)=-3\Rightarrow {{c}_{1}}=-3$

άρα $f(x)=x-\frac{c}{x}-3,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ και επειδή f(4)=3

είναι

$f(4)=4-\frac{c}{4}-3\Leftrightarrow 3=1-\frac{c}{4}\Leftrightarrow \frac{c}{4}=-2\Rightarrow c=-8$ επομένως $f(x)=x+\frac{8}{x}-3,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

β) Είναι ${f}'(x)=1-\frac{8}{{{x}^{2}}}$ και σε σημείο της $({{x}_{0}},\,f({{x}_{0}}))$ η εφαπτομένη είναι

$y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ και περνάει από το σημείο $M(\alpha , \beta )$ αναγκαία ισχύει

$\beta -f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(\alpha -{{x}_{0}})\Leftrightarrow \beta -{{x}_{0}}-\frac{8}{{{x}_{0}}}+3=\left( 1-\frac{8}{x_{0}^{2}} \right)(\alpha -{{x}_{0}})\Leftrightarrow$

$\beta -\cancel{{{x}_{0}}}-\frac{8}{{{x}_{0}}}+3=\alpha -\cancel{{{x}_{0}}}-\frac{8\alpha }{x_{0}^{2}}+\frac{8}{{{x}_{0}}}\Leftrightarrow \beta +3=\alpha -\frac{8\alpha }{x_{0}^{2}}+\frac{16}{{{x}_{0}}}\Leftrightarrow$

$\left( \beta +3-\alpha \right)x_{0}^{2}-16{{x}_{0}}+8\alpha =0$ (1)

Άρα η τετμημένη του σημείου επαφής προκύπτει από τις ρίζες της εξίσωσης $\left( \beta +3-\alpha \right)x-16x+8\alpha =0$

για να έχει δύο διαφορετικές ρίζες πρέπει πρώτα $\beta +3-\alpha \ne 0$ και διακρίνουσα $\Delta >0$

Τώρα αν ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ οι δύο ρίζες της (1) για να είναι οι εφαπτόμενες στα σημεία κάθετες πρέπει και αρκεί

${f}'({{x}_{1}}){f}'({{x}_{2}})=-1\Leftrightarrow \left( 1-\frac{8}{x_{1}^{2}} \right)\left( 1-\frac{8}{x_{2}^{2}} \right)=-1$

...πολλές πράξεις για τέτοια ώρα,

αν δεν βρεθεί κάτι καλύτερο συνεχίζεται αύριο...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Μπαλός · #3

Προφανώς η διαφορική δεν είναι έτσι αλλά

2f'(x)+xf''(x)=2

#4

APOSTOLAKIS έγραψε:Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\propto )\rightarrow R$ τέτοια ώστε
για κάθε x>0.
Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο και η ασύμπτωτη της στο $+\propto$
έχει εξίσωση $y=\alpha x-3$ . Να βρείτε:
α) το α και τον τύπο της .
β) Να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται τα σημεία $M(\alpha , \beta )$ του επιπέδου από τα οποία οι εφαπτόμενες που φέρονται στην $C_{f}$ να είναι κάθετες.

ΥΓ Το τελευταίο ερώτημα, αν έχω κάνει σωστά πράξεις, έχει ενδιαφέρον, όπως ποιος ο γεωμετρικός τόπος; άλλες κωνικές τομές;
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

... για το (α) και το μισό (β)...διορθώνοντας την υπόθεση στη διαφορική όπως είπε και ο Λάμπρος

(....ο δημιουργός βέβαια έχει το λόγο)

α) Από x{f}''(x)+2{f}'(x)=2,x>0

ισοδύναμα

${{x}^{2}}{f}''(x)+2x{f}'(x)=2x\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}{f}'(x) \right)}^{\prime }}=({{x}^{2}}{)}'\Leftrightarrow {{x}^{2}}{f}'(x)={{x}^{2}}+c\Leftrightarrow$

${f}'(x)=1+\frac{c}{{{x}^{2}}},\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ άρα $f(x)=x-\frac{c}{x}+{{c}_{1}},\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

Επειδή $y=\alpha x-3$ είναι ασύμπτωτη της ${{C}_{f}}$ στο $+\infty$ θα ισχύουν

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\alpha ,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-\alpha x \right)=-3$ .

Είναι τώρα $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{c}{{{x}^{2}}}+\frac{{{c}_{1}}}{x} \right)=1$

επομένως $\alpha =1$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)-x \right)=-3\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{c}{x}+{{c}_{1}} \right)=-3\Rightarrow {{c}_{1}}=-3$

άρα $f(x)=x-\frac{c}{x}-3,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$ και επειδή f(4)=3

είναι

$f(4)=4-\frac{c}{4}-3\Leftrightarrow 3=1-\frac{c}{4}\Leftrightarrow \frac{c}{4}=-2\Rightarrow c=-8$ επομένως $f(x)=x+\frac{8}{x}-3,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )$

β) Είναι ${f}'(x)=1-\frac{8}{{{x}^{2}}}$ και σε σημείο της $({{x}_{0}},\,f({{x}_{0}}))$ η εφαπτομένη είναι

$y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ και περνάει από το σημείο $M(\alpha , \beta )$ αναγκαία ισχύει

$\beta -f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(\alpha -{{x}_{0}})\Leftrightarrow \beta -{{x}_{0}}-\frac{8}{{{x}_{0}}}+3=\left( 1-\frac{8}{x_{0}^{2}} \right)(\alpha -{{x}_{0}})\Leftrightarrow$

$\beta -\cancel{{{x}_{0}}}-\frac{8}{{{x}_{0}}}+3=\alpha -\cancel{{{x}_{0}}}-\frac{8\alpha }{x_{0}^{2}}+\frac{8}{{{x}_{0}}}\Leftrightarrow \beta +3=\alpha -\frac{8\alpha }{x_{0}^{2}}+\frac{16}{{{x}_{0}}}\Leftrightarrow$

$\left( \beta +3-\alpha \right)x_{0}^{2}-16{{x}_{0}}+8\alpha =0$ (1)

Άρα η τετμημένη του σημείου επαφής προκύπτει από τις ρίζες της εξίσωσης $\left( \beta +3-\alpha \right){{x}^{2}}-16x+8\alpha =0$ (1) για να έχει δύο

διαφορετικές ρίζες πρέπει πρώτα $\beta +3-\alpha \ne 0$ και διακρίνουσα $\Delta >0$ που ικανοποιείται από τους πρόσθετους περιορισμούς, που δόθηκαν.

Τώρα αν ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ οι δύο ρίζες της (1) για να είναι οι εφαπτόμενες στα σημεία κάθετες πρέπει και αρκεί

${f}'({{x}_{1}}){f}'({{x}_{2}})=-1\Leftrightarrow \left( 1-\frac{8}{x_{1}^{2}} \right)\left( 1-\frac{8}{x_{2}^{2}} \right)=-1\Leftrightarrow$

...και μετά από τις επεμβάσεις του δημιουργού και πολύ υπομονή στις πράξεις κατάληξα στα εξής συμπεράσματα...

$1-\frac{8}{x_{1}^{2}}-\frac{8}{x_{2}^{2}}+\frac{64}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}=-1$ και μετά από πράξεις καταλήγουμε στην

${{({{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+32=0$ (2)

Τώρα αν $\kappa =\beta +3-\alpha$ και $\lambda =8\alpha$ η εξίσωση (1) γίνεται $\kappa {{x}^{2}}-16x+\lambda =0$ και από τους τύπους του Vieta είναι

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{16}{\kappa },\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{\lambda }{\kappa }$ οπότε

${{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}={{\left( \frac{16}{\kappa } \right)}^{2}},\,\,\,{{({{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}=\frac{{{\lambda }^{2}}}{{{\kappa }^{2}}}$ ή

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{{16}^{2}}}{{{\kappa }^{2}}}\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{{{16}^{2}}}{{{\kappa }^{2}}}-\frac{2\lambda }{\kappa }=\frac{{{16}^{2}}-2\lambda \kappa }{{{\kappa }^{2}}}$

έτσι από (2) έχουμε ότι $\frac{{{\lambda }^{2}}}{{{\kappa }^{2}}}-4\left( \frac{{{16}^{2}}-2\lambda \kappa }{{{\kappa }^{2}}} \right)+32=0\Leftrightarrow {{\lambda }^{2}}+8\lambda \kappa +32{{\kappa }^{2}}=4\cdot {{16}^{2}}\Leftrightarrow$

${{(\lambda +4\kappa )}^{2}}+16{{\kappa }^{2}}=4\cdot {{16}^{2}}$ και αντικαθιστώντας τα

$\kappa =\beta +3-\alpha$ και $\lambda =8\alpha$ προκύπτει ότι ${{(4\alpha +4\beta +12)}^{2}}+16{{(\beta +3-\alpha )}^{2}}=4\cdot {{16}^{2}}\Leftrightarrow$

$16{{(\alpha +\beta +3)}^{2}}+16{{(\beta +3-\alpha )}^{2}}=4\cdot {{16}^{2}}\Leftrightarrow {{(\alpha +\beta +3)}^{2}}+{{(\beta +3-\alpha )}^{2}}=64\Leftrightarrow ....$

${{\alpha }^{2}}+{{(\beta +3)}^{2}}=32$ που σημαίνει ότι τα σημεία $M(\alpha , \beta )$ ανήκουν σε κύκλο κέντρου $K(0,\,-3)$ και ακτίνας $\rho =\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Εξαιρούνται τα κοινά σημεία του κύκλου με την ευθεία y-x+3=0

που είναι τα $A(4,\,\,1),\,\,E(-4,\,\,-7)$ και τα σημεία του κύκλου για τα οποία

$\Delta \le 0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 8-\alpha (\beta +3-\alpha )\le 0\Leftrightarrow 8\le \alpha (\beta +3-\alpha )$ που για

$\alpha >0$ έχουμε ότι $\alpha +\frac{8}{\alpha }-3\le \beta$ που είναι τα σημεία του επιπέδου που $y=f(x)>x+\frac{8}{x}-3,\,\,x\in (0,+\infty )$

(που αυτά είναι μάλλον τα «εξωτερικά σημεία» της γραφικής παράστασης της

όπως φαίνεται και στο σχήμα.

: ενδιαφερον θεμα.png (78.51 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

...έχω φτιάξει και ένα στιγμιότυπο κάθετων εφαπτομένων στην καμπύλη...(οι πράσινες ευθείες)

Άξιο παρατήρησης είναι ότι τα σημεία $M(\alpha , \beta )$ ισχύει $\beta +3-\alpha =0$ δηλαδή ανήκουν στην y=x-3

που είναι ασύμπτωτη της ${{C}_{f}}$ στο $+\infty$ η εξίσωση (1) θα έχει μοναδική λύση που σημαίνει ότι

από τα σημεία της ασύμπτωτης μπορούμε να φέρουμε μόνο μία εφαπτομένη προς την ${{C}_{f}}$ με τετμημένη $x=\frac{\alpha }{2}$ (!!!!)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

APOSTOLAKIS · #5

Μπράβο! Αυτά έβγαλα και εγώ. Με εντυπωσίασαν τα αποτελέσματα αυτά όπως και εσύ αναφέρεις και που δεν έχω δεί κάτι ανάλογο, γι΄αυτό την ανέβασα.
Γι' αυτό στη συνέχεια έκανα την ερώτηση για τις άλλες κωνικές τομές. Όμορφα!!

Ενδιαφέρον θέμα (β)

Ενδιαφέρον θέμα (β)

Re: Ενδιαφέρον θέμα (β)

Re: Ενδιαφέρον θέμα (β)

Re: Ενδιαφέρον θέμα (β)

Re: Ενδιαφέρον θέμα (β)

Μέλη σε σύνδεση