Μια κατασκευή...

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για την οποία ισχύει $\displaystyle \left ( x^{2}+1 \right )f'(x)+e^{xf'(1)}=\left ( x-1 \right )^{2}f(x)+f'(x^{2}-x+1)f'(1)+1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+1},x\in \mathbb{R}$ .

B. Να δείξετε ότι η $C_{f}$ έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.

Γ. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχει, το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( F\circ f \right )(x)$ , όπου μια παράγουσα της .

Δ. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle \left ( x+1 \right )f(x)=\left ( x^{4}+1 \right )f\left ( x^{2} \right )$ στο $\mathbb{R}$ .

Ε. Αν το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ , τον άξονα και τις ευθείες $x=\rho _{1}$ και $x=\rho _{2}$ , όπου $\rho _{1},\rho _{2}$ οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος $\left ( \Delta \right )$ , να δείξετε ότι ισχύει $\displaystyle \left [ \left ( \frac{\pi +2ln2}{4} \right )^{2}+1 \right ]\cdot f\left ( E \right )>\sqrt[4]{e^{\pi +2ln2}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Y.Γ. Διόρθωσα το ερώτημα Ε.

Rempeskes · #2

M.S.Vovos έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για την οποία ισχύει $\displaystyle \left ( x^{2}+1 \right )f'(x)+e^{xf'(1)}=\left ( x-1 \right )^{2}f(x)+f'(x^{2}-x+1)f'(1)+1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle{ f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+1},x\in \mathbb{R}$ .

Καλησπέρα και χρόνια πολλά.

Ας κάνω την αρχή, με μια αντιμετώπιση για την διαφορική...

Για στην δοθείσα, παίρνουμε $\displaystyle{{e}^{f'(1)} - {(f'(1)-1)}^{2}=0}$

Θεωρούμε συνάρτηση $g(x)=e^x - {(x-1)}^{2}$

$\displaystyle{g'(x)=e^x -2(x-1)}$

Για $x\leq 1 \Rightarrow g'(x)>0$ άρα η g γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty,1 \right]$

Για , $\displaystyle{g''(x)=e^x-2>e-2>0}$ οπότε για $x>1\Rightarrow g'(x)>g'(1)\Rightarrow g'(x)>e>0$

Άρα εφόσον συνεχής (ως παραγωγίσιμη), και $g'(x)>0 ,\forall x \in \mathbb{R}$ , η γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Παρατηρούμε ότι άρα η μοναδική.

Συνεπώς, $g(f'(1))=0 \Rightarrow g(f'(1))=g(0) \Leftrightarrow \boxed{f'(1)=0}$ εφόσον ως γνησίως μονότονη.

Οπότε τώρα έχουμε ότι,

$\displaystyle{f'(x)-\frac{(x-1)^2}{x^2 +1}f(x)=0\Rightarrow \left({e}^{ln(x^2 +1)-x}f(x) \right)'=0 \Rightarrow f(x)=c\cdot {e}^{x-ln(x^2 +1)} }$

Για $x=0 \Rightarrow c=1$ άρα,

$\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{{e}^{ln(x^2 +1)}} \Rightarrow \boxed{f(x)=\frac{e^x}{x^2 +1},x \in \mathbb{R}}}$

Υ.Γ.:Έχω την εντύπωση ότι υπάρχει λάθος στο τελευταίο ερώτημα.