ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Μαρ 31, 2016 2:32 am

...Καλησπέρα :logo: μια αποψινή δημιουργία μάλλον απαιτητική...

Δίνεται η συνάρτηση f:R\to R , η οποία είναι συνεχής στο R και ισχύει ότι f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1,\,\,\,\,x,y\in R.

Αν γνωρίζουμε ότι 5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} τότε:

Α. Υπάρχει \xi \in (0,\,\,1) ώστε 3f(\xi )=2f(1)

Β. Αν επιπλέον ακόμη ισχύει

\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}
\displaystyle{f(x)\ge 2x,\,\,\,x\in R}

τότε να δείξετε ότι :

i) f(1)=2

ii) 2f(x)+1\ge f(x+1),\,\,\,x\in R

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Κυρ Οκτ 02, 2016 2:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...

Λέξεις Κλειδιά:
Rempeskes
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2015 10:40 pm

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Rempeskes » Πέμ Μαρ 31, 2016 4:11 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα :logo: μια αποψινή δημιουργία μάλλον απαιτητική...

Δίνεται η συνάρτηση f:R\to R , η οποία είναι συνεχής στο R και ισχύει ότι f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1,\,\,\,\,x,y\in R.

Αν γνωρίζουμε ότι 5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} τότε:

Α. Υπάρχει \xi \in (0,\,\,1) ώστε 3f(\xi )=2f(1)

Β. Αν επιπλέον ακόμη ισχύει

\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}
\displaystyle{f(x)\ge 2x,\,\,\,x\in R}

τότε να δείξετε ότι :

i) f(1)=2

ii) 2f(x)+1\ge f(x+1),\,\,\,x\in R

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Καλημέρα.

Μια αντιμετώπιση για την δημιουργία του κ.Βασίλη:


Α)

\displaystyle{5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} }


\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{5f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2f(x+1)dx}}


\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{3f(x)+2(f(x)-f(x+1))dx}=0}


\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{3f(x)+2(-f(1)-2x+1)dx}=0}


\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( 3f(x)-2f(1)-4x+2 \right)dx}=0}


\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{(3f(x)-2f(1))dx} + \left[2x-2x^2 \right]_0^1 =0}


\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{ (3f(x)-2f(1))dx}=0}


\displaystyle{\Rightarrow \exists \xi \in \left(0,1 \right):3f(\xi)-2f(1)=0\Rightarrow \boxed{3f(\xi)=2f(1)}}

B)

i)

\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x+1)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( f(x+1)-f(x)\right)dx}=2}

\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( f(1)+2x-1\right)dx}=2 \Rightarrow \left[f(1)x+x^2 -x \right]_0^1 =2\Rightarrow \boxed{f(1)=2}}

ii)

Ισχύει,

\displaystyle{f(x)\geq 2x\Rightarrow 1+f(x)\geq (f(1)-1)+2x\Rightarrow 1+f(x)\geq f(x+1)-f(x) \Rightarrow \boxed{2f(x)+1\geq f(x+1)}}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2172
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Μαρ 31, 2016 12:43 pm

Αν \displaystyle{f(x)-x^2-1=g(x)} τότε \displaystyle{g(x+y)=g(x)+g(y)} άρα Cauchy και συνεχής \displaystyle{g(x)=ax}οποτε \displaystyle{f(x)=ax+x^2+1} και ανικαθιστώντας στην σχέση που δίνεται \displaystyle{a=0}


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Μαρ 31, 2016 10:06 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Δίνεται η συνάρτηση f:R\to R , η οποία είναι συνεχής στο R και ισχύει ότι
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1,{\color{red}(1)},\,\,\,\,x,y\in R.

Αν γνωρίζουμε ότι 5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}\color{red}(2) τότε:

Α. Υπάρχει \xi \in (0,\,\,1) ώστε 3f(\xi )=2f(1)

Β. Αν επιπλέον ακόμη ισχύει

\boxed{\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}
\displaystyle{f(x)\ge 2x,\,\,\,x\in R}

τότε να δείξετε ότι :

i) f(1)=2

ii) 2f(x)+1\ge f(x+1),\,\,\,x\in R
...Καλησπέρα...

y=1 \quad (1)\Rightarrow f(x+1)=f(x)+f(1)+2x-1\Rightarrow\int_{0}^1f(x+1)dx=\int_{0}^1 (f(x) +f(1)+2x-1)dx\Rightarrow

\boxed{\int_{1}^2f(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx +f(1)}\stackrel{(2)}\Rightarrow 3\int_{0}^1f(x)dx=2f(1)\Rightarrow

3(F(1)-F(0))=2f(1)\Rightarrow 3f(\xi)=2f(1), όπου F μια παράγουσα της f στο [0,1],έγινε ένα ΘΜΤ στο [0,1] για την F

Φανερά είναι f(1)=2 και f(x+1)=f(x)+2x+1,x\in \mathbb R

f(x)\geq 2x \quad \forall x\in \mathbb R

2f(x)\geq f(x)+2x\Rightarrow 2f(x)+1\geq f(x)+2x+1\Rightarrow 2f(x)+1\geq f(x+1),x\in \mathbb R


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης