Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Παρ Απρ 22, 2016 9:48 pm

Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1), συνεχή παράγωγο και f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)

που ικανοποιεί την ισότητα : f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)

Να λυθεί η εξίσωση: f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Κυρ Απρ 24, 2016 12:36 pm

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1), συνεχή παράγωγο και f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)

που ικανοποιεί την ισότητα : f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)

Να λυθεί η εξίσωση: f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})
Μιχάλη έχω την εντύπωση ότι κάτι δεν πάει καλά , εκτός και αν κάπου κάνω λάθος.

Θέτουμε \displaystyle{f(3) = a} οπότε έχουμε:

\displaystyle{f(3a) = f(1) + a\,\,\,(1)\,\,\,\,,\,\,\,\,{f{'}}(x) \ne 1 \ne f( - x)\,\,\,\forall x > 0\,\,\,\,(2)\,\,\,,\,\,\,{f^3}(ax) + f(x) = x - 1\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(3)\,}

\displaystyle{(3)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 1} \,\,{f^3}(a) + f(1) = 0\,\,\,(4)\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,}

\displaystyle{(3)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 3} \,\,{f^3}(3a) + \alpha  = 2\,\, \Rightarrow \,{f^3}(3a) = 2 - a\,\,\,(5)\,\,}

\displaystyle{ \bullet \,\,(3)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = 0} {f^3}(0) + f(0) =  - 1 \Rightarrow f(0)\left( {{f^2}(0) + 1} \right) =  - 1 \Rightarrow  - 1 < \,f(0) < 0}

\displaystyle{ \bullet \,\,\,\alpha \nu \,\,\,a = 0\,\,,\,\,\,\,(1) \Rightarrow f(0) = f(1)\mathop  \Rightarrow \limits^{(4)} f(0) = 0\,\,\,} άτοπο , οπότε \displaystyle{a \ne 0} .

\displaystyle{ \bullet } Παραγωγίζοντας τα μέλη της \displaystyle{(3)} παίρνουμε \displaystyle{3a{f^2}(ax){f{'}}(ax) + {f{'}}(x) = 1\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(6)\,\,} και θέτοντας στην \displaystyle{(6)} όπου \displaystyle{x} το \displaystyle{{\frac{x}{a}}} προκύπτει ότι

\displaystyle{3a{f^2}(x){f{'}}(x) + {f{'}}\left( {\frac{x}{a}} \right) = 1\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(7)}

\displaystyle{ \bullet } Έστω \displaystyle{a > 0}

Αν υπάρχει \displaystyle{b > 0} ώστε \displaystyle{f(b) = 0} τότε \displaystyle{(7)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = b} {f{'}}\left( {\frac{b}{a}} \right) = 1} , άτοπο λόγω της \displaystyle{(2)} .

Συνεπώς \displaystyle{f(x) \ne 0\,\,\forall x \in \left[ {0\,,\, + \infty } \right)\,} και επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{R} ως παραγωγίσιμη με \displaystyle{f(0) < 0} θα είναι \displaystyle{\,f(x) < 0\,\,\,\forall x \in \left[ {0\,,\, + \infty } \right) \Rightarrow f(3) < 0 \Rightarrow a < 0} ,άτοπο.

\displaystyle{ \bullet } Έστω \displaystyle{a < 0}

Αν υπάρχει \displaystyle{c < 0} ώστε \displaystyle{f(c) = 0} τότε \displaystyle{\,(7)\mathop  \Rightarrow \limits^{x = c} {f{'}}\left( {\frac{c}{a}} \right) = 1\,\,} , άτοπο λόγω της \displaystyle{(2)} .

Συνεπώς \displaystyle{f(x) \ne 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,\,,\,\,0} \right]\,} και επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{R} ως παραγωγίσιμη με \displaystyle{f(0) < 0} θα είναι \displaystyle{\,f(x) < 0\,\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,\,,\,\,0} \right] \Rightarrow f(3a) < 0\mathop  \Rightarrow \limits^{(5)} 2 - a < 0 \Rightarrow a > 2} , άτοπο.

Καταλήγουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f} που να πληροί τα δεδομένα.


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
G.Bas
Δημοσιεύσεις: 705
Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
Επικοινωνία:

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Bas » Κυρ Απρ 24, 2016 8:36 pm

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1), συνεχή παράγωγο και f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)

που ικανοποιεί την ισότητα : f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)

Να λυθεί η εξίσωση: f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})
Αν κάνουμε μια μικρή αλλαγή στα δεδομένα τότε η άσκηση σώζεται, δηλαδή

Έστω γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} με \displaystyle{f(3f(3))=f(1)+f(3)}

που ικανοποιεί την ισότητα \displaystyle{f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\, \forall x\in\mathbb{R}\quad (1).}

Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f(11f'(x))=6f\left(\frac{37}{27}\right).}

Η λύση είναι ως εξής.

Θα αποδείξουμε αρχικά πως \displaystyle{{f(3)=1}

Ας είναι f(3)>1.
Τότε \displaystyle{3f(3)>3\Rightarrow f(3f(3))>f(3)\Rightarrow f(1)+f(3)>f(3)\Rightarrow f(1)>0.}

Η \displaystyle{(1)} για x=1 δίνει \displaystyle{f^3(f(3))=-f(1)<0\Rightarrow f(f(3))<0.}

Όμως, \displaystyle{1<f(3)\Rightarrow f(1)<f(f(3))<0\Rightarrow f(1)<0}, άτοπο.

Ομοίως, για την περίπτωση f(3)<1 καταλήγουμε σε άτοπο, οπότε θα' ναι f(3)=1.

Η (1) τότε γίνεται \displaystyle{f^3(x)+f(x)=x-1} και για x=37/27 παίρνουμε \displaystyle{f^3(37/27)+f(37/27)=\frac{10}{27}\Rightarrow f\left(\frac{37}{27}\right)=\frac{1}{3}.}

Άρα, η εξίσωση γράφεται τώρα \displaystyle{f(11f'(x))=2.}

Η (1) για x=11 δίνει \displaystyle{f^3(11)+f(11)=10\Rightarrow f(11)=2} οπότε η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{f(11f'(x))=f(11)\Rightarrow 11f'(x)=11\Rightarrow f'(x)=1.} Από παραγώγιση της (1) έχουμε \displaystyle{3f^2(x)f'(x)+f'(x)=1\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3f^2(x)+1}}

άρα η εξίσωση εν τέλει γράφεται

\displaystyle{\frac{1}{3f^2(x)+1}=1\Rightarrow f^2(x)=0\Rightarrow f(x)=0} η οποία έχει ως μοναδική λύση, λόγω μονοτονίας, την x=1 αφού η (1) για x=1 δίνει

\displaystyle{f^3(1)+f(1)=0\Rightarrow f(1)(f^2(1)+1)=0\Rightarrow f(1)=0}.


Let Solutions Say Your Method!

George Basdekis

Cauchy-Schwarz is the best tool!
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Απρ 24, 2016 9:31 pm

Καλησπέρα , καταρχήν να ευχαριστήσω τον Γιώργο Ροδόπουλο και να πω πως πράγματι έχει δίκιο , όπως επίσης και τον έτερο Γιώργο .Αυτό που είχα στο μυαλό μου είναι
maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R\rightarrow R με f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1), συνεχή παράγωγο και f'(-x)\neq 1\;\;\forall x>0\;\kappa \alpha \iota f'(x)\neq 1 \;\;\;\;\forall x\in(0,1)U(1,+\propto )\;\;(2)

που ικανοποιεί την ισότητα : f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)

Να λυθεί η εξίσωση: f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})
Νομίζω πως έτσι είναι όλα εντάξει και δεχόμαστε διάφορες λύσεις.


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Απρ 24, 2016 10:34 pm

Μιχάλη καλησπέρα! Εγώ δε βλέπω το λόγο γιατί να είναι τόσο σύνθετα δοσμένη αυτή η πληροφορία.
maiksoul έγραψε: και f'(-x)\neq 1\;\;\forall x>0\;\kappa \alpha \iota f'(x)\neq 1 \;\;\;\;\forall x\in(0,1)U(1,+\propto )\;\;(2)
Αν μας έλεγε πως η παράγωγος είναι διαφορετική της μονάδας για κάθε x \ne 0, 1 δε θα ήταν το ίδιο;


Χρήστος Κυριαζής
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Απρ 24, 2016 10:41 pm

chris_gatos έγραψε:Μιχάλη καλησπέρα! Εγώ δε βλέπω το λόγο γιατί να είναι τόσο σύνθετα δοσμένη αυτή η πληροφορία.
maiksoul έγραψε: και f'(-x)\neq 1\;\;\forall x>0\;\kappa \alpha \iota f'(x)\neq 1 \;\;\;\;\forall x\in(0,1)U(1,+\propto )\;\;(2)
Αν μας έλεγε πως η παράγωγος είναι διαφορετική της μονάδας για κάθε x \ne 0, 1 δε θα ήταν το ίδιο;
Χρήστο, σωστά,πολύ ωραία. Ας γίνει έτσι η εκφώνηση λοιπόν !

Δηλαδή η παραπάνω πληροφορία να γραφει: f'(x)\neq0 \;\;\;\forall x \in R -\{ 0,1 \}


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες