Στο πνεύμα...

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 893
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Στο πνεύμα...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μάιος 08, 2016 7:06 pm

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}, με f(2)=ln2 και \displaystyle f'(2)+f(2)=\frac{1}{2}, για την οποία ισχύει \displaystyle (2x-1)f'(x)+\left ( x^{2}-x \right )f''(x)+f(x)+xf'(x)=0, για κάθε x\in (0,1)\cup (1,+\infty ).

A. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

B. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f' αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.

Γ. Αν E το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=2 και x=3, να δείξετε ότι \displaystyle ln\left ( \frac{9e^{2f(2)f(3)}}{4e} \right )<E<\frac{11f(12)}{2}.

Δ. Να δείξετε ότι \displaystyle x\int_{1}^{2}tf(tx)dt>\int_{x}^{2x}f(t)dt, για κάθε x>0.


Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4683
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Στο πνεύμα...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Μάιος 09, 2016 1:38 pm

M.S.Vovos έγραψε:Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}, με f(2)=ln2 και \displaystyle f'(2)+f(2)=\frac{1}{2}, για την οποία ισχύει \displaystyle (2x-1)f'(x)+\left ( x^{2}-x \right )f''(x)+f(x)+xf'(x)=0, για κάθε x\in (0,1)\cup (1,+\infty ).

A. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

B. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f' αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.

Γ. Αν E το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=2 και x=3, να δείξετε ότι \displaystyle ln\left ( \frac{9e^{2f(2)f(3)}}{4e} \right )<E<\frac{11f(12)}{2}.

Δ. Να δείξετε ότι \displaystyle x\int_{1}^{2}tf(tx)dt>\int_{x}^{2x}f(t)dt, για κάθε x>0.


Καλημέρα σας.

Φιλικά,
Μάριος
Επειδή πλησιάζουν οι εξετάσεις και ειδικά τώρα οφείλουμε να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στις διατυπώσεις μας, επιτρέψτε μου μια παρατήρηση.

Το ΠΝΕΥΜΑ των εξετάσεων επιβάλει, (τουλάχιστον όπως μέχρι σήμερα συμβαίνει), όχι να ζητείται ο τύπος της f, αλλά να ζητείται να αποδειχθεί ότι ο τύπος της f είναι ο εξής..., ώστε να μη χάσουν τα επόμενα ερωτήματα οι μαθητές που δεν μπορούν να βγάλουν το πρώτο ερώτημα. Επίσης, στο Δ, τι τιμές παίρνει το t.


Stateofmind
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Τετ Απρ 20, 2016 11:23 pm

Re: Στο πνεύμα...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stateofmind » Δευ Μάιος 09, 2016 3:04 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}, με f(2)=ln2 και \displaystyle f'(2)+f(2)=\frac{1}{2}, για την οποία ισχύει \displaystyle (2x-1)f'(x)+\left ( x^{2}-x \right )f''(x)+f(x)+xf'(x)=0, για κάθε x\in (0,1)\cup (1,+\infty ).

A. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

B. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f' αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.

Γ. Αν E το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=2 και x=3, να δείξετε ότι \displaystyle ln\left ( \frac{9e^{2f(2)f(3)}}{4e} \right )<E<\frac{11f(12)}{2}.

Δ. Να δείξετε ότι \displaystyle x\int_{1}^{2}tf(tx)dt>\int_{x}^{2x}f(t)dt, για κάθε x>0.


Καλημέρα σας.

Φιλικά,
Μάριος
Επειδή πλησιάζουν οι εξετάσεις και ειδικά τώρα οφείλουμε να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στις διατυπώσεις μας, επιτρέψτε μου μια παρατήρηση.

Το ΠΝΕΥΜΑ των εξετάσεων επιβάλει, (τουλάχιστον όπως μέχρι σήμερα συμβαίνει), όχι να ζητείται ο τύπος της f, αλλά να ζητείται να αποδειχθεί ότι ο τύπος της f είναι ο εξής..., ώστε να μη χάσουν τα επόμενα ερωτήματα οι μαθητές που δεν μπορούν να βγάλουν το πρώτο ερώτημα. Επίσης, στο Δ, τι τιμές παίρνει το t.
Εκτός αυτού το πνεύμα των εξετάσεων επιβάλει και θέματα εντός εξεταστέας ύλης. Το Δ έχει ολοκλήρωμα με μεταβλητά άκρα, κάτι που θεωρείται εκτός για τα φετινά δεδομένα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης