Σταθερή συνάρτηση

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

Σταθερή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Τρί Μάιος 31, 2016 11:10 am

Α. Δίνεται η περιοδική συνάρτηση F:R\rightarrow R για την οποία υπάρχει το όριο \lim_{x\rightarrow +\propto }F(x) = l, l\in R. Να αποδείξετε ότι η F είναι σταθερή.
Β. Δίνεται η συνάρτηση f:R\rightarrow R τέτοια ώστε:
:logo: \lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x)-x)=2016
:logo: f(x+2)+f(x)=2f(x+1) για κάθε x\in R
Να βρείτε τον τύπο της f.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

ΥΓ: Το Α ερώτημα μάλλον δεν μπορούμε να το απαντήσουμε με την ύλη της Γ Λυκείου;


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τρί Μάιος 31, 2016 1:29 pm

APOSTOLAKIS έγραψε:Α. Δίνεται η περιοδική συνάρτηση F:R\rightarrow R για την οποία υπάρχει το όριο \lim_{x\rightarrow +\propto }F(x) = l, l\in R. Να αποδείξετε ότι η F είναι σταθερή.
Β. Δίνεται η συνάρτηση f:R\rightarrow R τέτοια ώστε:
:logo: \lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x)-x)=2016
:logo: f(x+2)+f(x)=2f(x+1) για κάθε x\in R
Να βρείτε τον τύπο της f.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

ΥΓ: Το Α ερώτημα μάλλον δεν μπορούμε να το απαντήσουμε με την ύλη της Γ Λυκείου;
A. Ονομάζουμε \displaystyle{T} την μικρότερη θετική περίοδο της \displaystyle{\,F} . Θα ισχύει \displaystyle{\,F\left( {x + nT} \right) = F(x)\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\, \wedge \,\,\forall \,n \in {N^*}\,\,\,}

Έστω \displaystyle{x \in R}

Είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } F\left( {x + nT} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } F(x)\, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } F\left( {x + nT} \right) = F(x)\mathop  \Rightarrow \limits^{y = x + nT} \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } F\left( y \right) = F(x) \Rightarrow F(x) = \ell }

Επομένως \displaystyle{F(x) = \ell \,\,\,\forall x \in R}

Β. Από την δοσμένη σχέση έχουμε ότι \displaystyle{\,f(x + 2) - f(x + 1) = f(x + 1) - f(x) \Rightarrow g(x + 1) = g(x)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,g(x) = f(x + 1) - f(x)} .

Προκύπτει ότι η \displaystyle{g} είναι περιοδική με περίοδο \displaystyle{{T_1} = 1} .

Είναι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x + 1) - f(x)} \right)} \displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x + 1) - \left( {x + 1} \right) - \left( {f(x) - x} \right) + 1} \right) = 2016 - 2016 + 1 = 1}

Από το Α. προκύπτει ότι \displaystyle{g(x) = f(x + 1) - f(x) = 1\,\,\,\,\,\,\forall x \in R} .

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{h(x) = f(x) - x - 2016\,\,,\,\,x \in R} .

\displaystyle{\forall x \in R} είναι \displaystyle{h(x + 1) = f(x + 1) - x - 2017 = 1 + f(x) - x - 2017 = h(x)} , άρα η \displaystyle{h} είναι περιοδική με περίοδο \displaystyle{{T_1} = 1} .

Τώρα \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f(x) - x - 2016} \right) = 0} .

Από το Α. προκύπτει ότι \displaystyle{\forall x \in R\,\,\,\,\,\,\,h(x) = 0 \Rightarrow f(x) = x + 2016} (επαληθεύει)


Γιώργος Ροδόπουλος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12180
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 31, 2016 1:45 pm

hsiodos έγραψε: Ονομάζουμε \displaystyle{T} την μικρότερη θετική περίοδο της \displaystyle{\,F}
Γιώργο, ας σημειώσω ότι δεν χρειάζεται να πάρουμε την "μικρότερη θετική περίοδο" αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε θετική περίοδο. Η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Το λέω αυτό γιατί μπορεί να μην υπάρχει "μικρότερη θετική περίοδος". Για παράδειγμα η \displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 
1, & \text{ if } x \in \mathbb Q  \\  
0,  & \text{ if } x \in \mathbb R - \mathbb Q   
\end{cases}}

έχει περίοδο κάθε θετικό ρητό, οπότε δεν υπάρχει μικρότερη θετική περίοδος.


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Σταθερή συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τρί Μάιος 31, 2016 4:09 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
hsiodos έγραψε: Ονομάζουμε \displaystyle{T} την μικρότερη θετική περίοδο της \displaystyle{\,F}
Γιώργο, ας σημειώσω ότι δεν χρειάζεται να πάρουμε την "μικρότερη θετική περίοδο" αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε θετική περίοδο. Η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Το λέω αυτό γιατί μπορεί να μην υπάρχει "μικρότερη θετική περίοδος". Για παράδειγμα η \displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 
1, & \text{ if } x \in \mathbb Q  \\  
0,  & \text{ if } x \in \mathbb R - \mathbb Q   
\end{cases}}

έχει περίοδο κάθε θετικό ρητό, οπότε δεν υπάρχει μικρότερη θετική περίοδος.
Μιχάλη σωστά , ωραία παρατήρηση!


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης