Υπαρξη συνάρτησης

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Υπαρξη συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 07, 2016 11:15 pm

Θεωρούμε την g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

1)Δείξτε ότι υπάρχει μοναδική f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

ώστε f^{3}(x)+f(x)=g(x) x\epsilon \mathbb{R}

2)Δείξτε ότι οι εξισώσεις f(x)=g(x),g(x)=0 έχουν τις ίδιες ρίζες

3)Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε και η f είναι.

4)Αν η g είναι συνεχής τότε και η f είναι.

5)Αν η g είναι παραγωγίσιμη τότε και η f είναι.

6)Αν \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty και \lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=0

να βρεθούν τα όρια \lim_{x\rightarrow \infty }f(x) και \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Υπαρξη συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Σάβ Οκτ 08, 2016 9:09 am

(1)
Εστω ότι υπάρχει μια συνάρτηση f_{1}(x)\neq f(x) τέτοια ώστε f_{1}^{3}(x)+f_{1}(x)=g(x)
Τότε θα ίσχυε f^{3}(x)+f(x)=f_{1}^{3}(x)+f_{1}(x)\Leftrightarrow =f^{3}(x)-f_{1}^{3}(x)+f(x)-f_{1}(x)=0\Leftrightarrow [f(x)-f_{1}(x)]\cdot [f^{2}(x)+f(x)f_{1}(x)+f_1^{2}(x)+1]=0
Θεωρούμε την παράσταση f^{2}(x)+f(x)f_{1}(x)+f_{1}^{2}(x)+1 τριώνυμο ως προς f(x) με
Δ=-3f_{1}^{2}(x)-4<0
άρα δεν έχει πραγματικές τιμές οπότε το μόνο που θα ισχύει είναι ότι η τυχαία f_{1}(x)=f(x)

(2) Αν r ρίζα της f(x) με f(r)=0
τότε f^{3}(r)+f(r)=g(r)\Leftrightarrow g(r)=0 άρα η r είναι ρίζα και της g(x)
Αν υποθέσουμε ότι η g(x) έχει μια ρίζα r_{1}\neq r \in R
με g(r1)=0 η οποία δεν είναι ρίζα της f(x)

τότε f^{3}(r_{1})+f(r_{1})=0 \Leftrightarrow f(r_{1})\cdot (f^{2}(r_{1})+1)=0\Leftrightarrow f(r_{1})=0
επομένως η r_{1}
αποτελεί ρίζα της f(x)

Συνεπώς έχουν τις ίδιες ρίζες

(3) Αν η g(x) αύξουσα τότε x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow g(x_{1})<g(x_{2})\Leftrightarrow f^3(x_{1})+f(x_{1})<f^{3}(x_{2})+f(x_{2})\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow f(x_{1})<f(x_{2})
άρα και η f(x)
αύξουσα


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπαρξη συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Οκτ 08, 2016 10:35 am

Καλημέρα.
Στο 1) απέδειξες την μοναδικότητα.
Πρέπει να αποδειχθεί και η ΥΠΑΡΞΗ.
Στο 2) διάβασες λάθος την εκφώνηση.Βρήκες ότι οι f(x)=0,g(x)=0 έχουν κοινές ρίζες.
Ζητείται κάτι ελαφρως διαφορετικό.
Τέλος στο 3) πρέπει να δικαιολογηθεί το f^{3}(x_{1})+f(x_{1})< f^{3}(x_{2})+f(x_{2})\Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2})


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Υπαρξη συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Σάβ Οκτ 08, 2016 10:47 am

Για το (3) παρέλειψα την αποδειξη χρησιμοποιώντας .... αναμεσα στις δυο συνεπαγωγές καθώς οι παραστάσεις με την απόδειξη του (2) είναι ίδιες και παράγεται τριώνυμο ως προς f(x) με Δ<0 άρα και σταθερό πρόσημο θετικό λόγω του συντελεστή της f(x)

Όσο για τις ρίζες στο (2) , υπέθεσα ότι η ρίζα r_{1} τηςg(x) δεν αποτελεί ρίζα της f(x). Mάλλον είναι θέμα απρόσεκτης διατύπωσης από πλευράς μου
Ευχαριστώ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπαρξη συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 08, 2016 12:32 pm

Ένας γρήγορος τρόπος (δυο τρεις γραμμές) να λυθεί η άσκηση είναι ο παρακάτω, σε hide. Είναι μέσα στις γνώσεις των μαθητών, όχι όμως στο ύφος αυτών που διδάσκονται/εξετάζονται.

Βάζω μόνο την κύρια ιδέα για να λύσουν την άσκηση οι μαθητές με τις μεθόδους που ξέρουν.
Θέτουμε h(x)=x^3+x, οπότε η h είναι γνήσια αύξουσα, συνεχής και αντιστρέψιμη με \displaystyle{\lim _{x\to +\infty }h(x)=+\infty} και \displaystyle{\lim _{x\to -\infty }h(x)=-\infty}.

Το "μυστικό" είναι ότι η δοθείσα γράφεται \displaystyle{h(f(x))=g(x)} , οπότε \displaystyle{f(x)=h^{-1}(g(x))}.

Τώρα τα ζητούμενα είναι άμεσα. Π.χ. η συνέχεια και η παραγωγισιμότητα της f βγαίνει από τις αντίστοιχες ιδιότητες των h^{-1} και g.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξη συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Οκτ 08, 2016 8:01 pm

2) Είναι \displaystyle{{f^3}(x) + f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x)[{f^2}(x) + 1] = g(x)}
Επομένως :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 f(x) = g(x) \Leftrightarrow {f^3}(x) + f(x) = f(x) \Leftrightarrow {f^3}(x) = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow f(x)[{f^2}(x) + 1] = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0 \\  
 \end{array}}

3) Έστω \displaystyle{{x_1} < {x_2}} και έστω ότι \displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( {{x_2}} \right)}
Τότε εύκολα :
\displaystyle{{f^3}\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) \ge {f^3}\left( {{x_2}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow g\left( {{x_2}} \right) \ge g\left( {{x_2}} \right)} πού είναι άτοπο αφού η \displaystyle{g} είναι γνησίως αύξουσα . Άρα \displaystyle{f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)} οπότε η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα .
4) Είναι \displaystyle{{f^3}(x) + f(x) = g(x)} οπότε και \displaystyle{{f^3}({x_0}) + f({x_0}) = g({x_0})}
Αφαιρώντας κατά μέλη και εφαρμόζοντας τη σχετική ταυτότητα προκύπτει : \displaystyle{f(x) - f({x_0}) = \frac{{\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]}}{{1 + {f^2}(x) + f(x)f({x_0}) + {f^2}({x_0})}}}
Επομένως :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \left| {f(x) - f({x_0})} \right| = \left| {\frac{{\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]}}{{1 + {f^2}(x) + f(x)f({x_0}) + {f^2}({x_0})}}} \right| \le \left| {\frac{{\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]}}{1}} \right| = \left| {\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]} \right| \Rightarrow  \\  
  \Rightarrow  - \left| {\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]} \right| \le f(x) - f({x_0}) \le \left| {\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]} \right| \\  
 \end{array}}
κι αφού η \displaystyle{g} είναι συνεχής και με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {f(x) - f({x_0})} \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})}
δηλαδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο τυχαίο \displaystyle{{{x_0}}} άρα συνεχής στο \displaystyle{R} .

5) Όπως πριν είναι :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 f(x) - f({x_0}) = \frac{{\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]}}{{1 + {f^2}(x) + f(x)f({x_0}) + {f^2}({x_0})}}\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x \ne {x_0}} \,\, \\  
  \Leftrightarrow \,\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{{\left[ {g(x) - g({x_0})} \right]}}{{x - {x_0}}}\frac{1}{{1 + {f^2}(x) + f(x)f({x_0}) + {f^2}({x_0})}} \\  
 \end{array}}
Παίρνοντας τα όρια και επειδή η \displaystyle{g} είναι παραγωγίσιμη και η \displaystyle{f} συνεχής έχουμε ότι : \displaystyle{f'({x_0}) = \frac{{g'({x_0})}}{{1 + 3{f^2}({x_0})}}}


Kαλαθάκης Γιώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπαρξη συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 12, 2016 9:29 am

1)Μία λύση έχει κάνει ο Μιχάλης Λάμπρου(είναι στο κρυμμένο κείμενο)
Λίγο διαφορετικά(στην ουσία είναι το ίδιο)
Η εξίσωση t^{^{3}}+t=g(x) όπου το x είναι σταθερό και το t η μεταβλητή
έχει μοναδική ρίζα στο \mathbb{R}
Θέτουμε f(x)=t και έτσι ορίζουμε την f η οποία προφανώς είναι μοναδική.

6)Εχουμε ότι f(x)=\dfrac{g(x)}{1+f^{2}(x)}

Προκύπτει -\left | g(x) \right |\leq f(x)\leq \left | g(x) \right |

Από κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=0

Από το \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty συμπεραίνουμε ότι

g(x)> 2 για x> a> 0

Αρα για x> a> 0 έχουμε f(x)> 1

Τότε όμως 2f^{3}(x)> f^{3}(x)+f(x)=g(x)

Τελικά για για x> a> 0 έχουμε f(x)> \sqrt[3]{\frac{g(x)}{2}}
Παίρνοντας όρια εχουμε το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης