Τροποποιημένη

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση

δυο φορές παραγωγίσιμη στο

. Αν ισχύει οτι
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f''(x)+[f'(x)]^2=2e^{-f(x)}\\ f(0)=f'(0)=0\\ \end{matrix}\right.}$ τοτε:

1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=-x^4

έχει μοναδική λύση

3) Υπάρχουν μόνο δυο σημεία στην C_f

που οι εφαπτομένες σε αυτά είναι κάθετες μεταξύ τους και να προσδιοριστούν τα σημεία αυτά

4) Nα υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2 \cdot sin\left ( \frac{2017}{\sqrt{x}} \right )}{e^{f(x)}}}$

5) Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\left ( \int_{1}^{2}f(x)dx \right )^2 \leq \frac{49}{9}}$

Ratio · #2

(1)

$f''(x)+[f'(x)]^{2}=2e^{-f(x)}\Leftrightarrow e^{f(x)}f''(x)+e^{f(x)}f'(x)f'(x)=2\Leftrightarrow\\ \left ( e^{f(x)}f''(x)+(e^{f(x)})'f'(x) \right )=2\Leftrightarrow \\\left ( e^{f(x)} f'(x)\right )'=(2x+c)'\\\Leftrightarrow e^{f(x)}f'(x)=2x+c$

για x=0

προκύπτει

$e^{f(0)}f'(0)=c\Leftrightarrow c=0\\\Leftrightarrow e^{f(x)}f'(x)=2χ$

συνεπώς

$\left ( e^{f(x)} \right )'=(x^{2}+c_{1})'\\\Leftrightarrow e^{f(x)}=x^{2}+c_{1}\\\Leftrightarrow f(x)=ln(x^{2}+c_{1})$

με
$f(0)=0\Leftrightarrow ln(c_{1})=0\Leftrightarrow c_{1}=1$

επομένως $f(x)=ln(x^{2}+1)$

(2) Θεωρούμε $g(x)=ln(x^{2}+1)+x^{4}$
όπου $g(0)=0\\ g'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}+4x^{3}\Leftrightarrow g'(x)=\frac{4x^{5}+4x^{3}+2x}{x^{2}+1}\\ \lim g'(x) _{x\to -\infty}=-\infty \\\lim g'(x) _{x\to +\infty}=+\infty\\\\ g'(x)\leq 0, x\in (-\infty,0]\\ g'(x)\geq 0, x\in [0,+\infty)$

Η $g(x) \downarrow , x\in (-\infty,0] \\\\ g(x) \uparrow , x\in [0,+infty)$
με g(0)=0

άρα η

έχει μοναδική λύση για x=0

#3

... τα υπόλοιπα ...

3) Είναι $\displaystyle{{f}'(x)=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}}$
Ισχύει : $\displaystyle{-1\le \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\le 1}$ και οι ισότητες ισχύουν μόνο για $\displaystyle{x=-1,x=1,}$ αντίστοιχα .
Επομένως ισχύει $\displaystyle{\frac{2{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}^{2}+1}\frac{2{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}^{2}+1}=-1}$ μόνο για $\displaystyle{{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1,}$ ή $\displaystyle{{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=-1.}$
Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα $\displaystyle{A(-1,\ln 2)\,\,,\,\,B(1,\ln 2)}$

4)
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}sin\left( {\frac{{2017}}{{\sqrt x }}} \right)}}{{{e^{f(x)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}sin\left( {\frac{{2017}}{{\sqrt x }}} \right)}}{{{e^{\ln ({x^2} + 1)}}}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}sin\left( {\frac{{2017}}{{\sqrt x }}} \right)}}{{({x^2} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}sin\left( {\frac{{2017}}{{\sqrt x }}} \right) = 1 \cdot 0 = 0 \\ \end{array}}$

5) Είναι : $\displaystyle{-\left| f(x) \right|\le f(x)\le \left| f(x) \right|\Rightarrow -\int_{1}^{2}{\left| f(x) \right|}dx\le \int_{1}^{2}{f(x)dx\le }\int_{1}^{2}{|f(x)|}dx\Rightarrow |\int_{1}^{2}{f(x)dx|\le }\int_{1}^{2}{|f(x)|}dx}$
Επομένως :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \left| {\int\limits_1^2 f (x)dx} \right| \le \int\limits_1^2 {|f} (x)|dx = \int\limits_1^2 {|\ln ({x^2} + 1)} |dx \le \int\limits_1^2 {|({x^2} + 1 - 1)} |dx = \int\limits_1^2 {{x^2}} dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_1^2 = \frac{7}{3} \Rightarrow \\ \Rightarrow {\left( {\int\limits_1^2 f (x)dx} \right)^2} \le \frac{{49}}{9} \\ \end{array}}$

Ratio · #4

για το (3)

$\frac{2x_{1}}{x_{1}^2+1}\frac{2x_{2}}{x_{2}^{2}+1}=-1\Leftrightarrow 2x_{1}2x_{2}=-((x_{1})^{2}+1)((x_{2})^{2}+1)\Leftrightarrow \\ (x_{1}x_{2})^{2}+x_{1}^{2}+x_2^{2}+4x_{1}x_{2}+1=0\Leftrightarrow \\ x_{1}^{2}(x_{2}^{2}+1)-4x_{1}x_{2}+(x_{2}^{2}+1)=0$

Θεωρώντας το τριώνυμο ως προς $x_{1}$ με πραγματικές ρίζες υπολογίζουμε διακρίνουσα Δ = $16x_{2}^2-4(x_{2}^2+1)^2=-4(x_{2}-1)^2(x_{2}+1)^2\leq0$

Για να έχει πραγματικές ρίζες θα πρέπει Δ=0 $\Leftrightarrow x_{2}=-1$ ή $x_{2}=1$

Τροποποιημένη

Τροποποιημένη

Re: Τροποποιημένη

Re: Τροποποιημένη

Re: Τροποποιημένη

Μέλη σε σύνδεση