Ανεστραμμένη

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:R \to R$ , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f''(x)>0

για κάθε $x \in R$ .

Αν η

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x_0 = 0

με τιμή μηδέν και f( 2 ) + f( -2 ) = 2017

.

1) Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ′

, του άξονα

xx'

και των ευθειών με εξισώσεις x = –2

και

.

2) Αν ισχύει $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx>f(a)(b-a), b>a \geq 0$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{f(0)+f(1)+...+f(2016)<\int_{0}^{2017}f(x)dx}$

3) Να δείξετε ότι η ορίζεται η αντίστροφη οταν x>0

. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης

διέρχεται από τα

σημεία Α(1,8)

και

, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\int_{1}^{10}f(x)dx+\int_{8}^{13}f^{-1}(x)dx=122}$

4) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in [1,10]$ ισχύει: $\displaystyle{f^2(x)-21f(x)+104 \leq 0}$

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $f:R \to R$ , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με για κάθε $x \in R$ .

Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο με τιμή μηδέν και .

1) Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης , του άξονα

και των ευθειών με εξισώσεις και .

2) Αν ισχύει $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx>f(a)(b-a), a<b, a,b \in R}$ . Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{f(0)+f(1)+...+f(2016)<\int_{0}^{2017}f(x)dx}$

3) Να δείξετε ότι η ορίζεται η αντίστροφη οταν . Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα

σημεία και , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\int_{1}^{10}f(x)dx+\int_{8}^{13}f^{-1}(x)dx=122}$

4) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in [1,10]$ ισχύει: $\displaystyle{f^2(x)-21f(x)+104 \leq 0}$

Εφόσον

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ συνάγουμε ότι η

είναι κυρτή. Κατά συνέπεια η

είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Επειδή η

παρουσιάζει στο x_0=0

τοπικό ακρότατο θα είναι f'(0)=0

(από Fermat) και φυσικά f'(x)>0

για κάθε

ενώ

για κάθε

λόγω μονοτονίας της παραγώγου. Άρα η

παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x_0=0

.

(α) Το εμβαδόν που περικλείεται της γραφικής παράστασης της

, των ευθειών $x=-2, \; x=2$ και του άξονα x'x

δίδεται του τύπου
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{-2}^{2} \left | f'(x) \right | \, {\rm d}x \\ &= \int_{-2}^{0} \left | f'(x) \right | \, {\rm d}x + \int_{0}^{2} \left | f'(x) \right | \, {\rm d}x \\ &=- \int_{-2}^{0} f'(x) \, {\rm d}x + \int_{0}^{2} f'(x) \, {\rm d}x \\ &= -\left [ f(0) - f(-2) \right ] + \left [ f(2) - f(0) \right ]\\ &= f(-2) - f(0) + f(2) - f(0) \\ &= f(-2) +f(2) \\ &= 2017 \end{aligned}}$ αφού f(0)=0

.

(β) Ισχύει (υπόθεση) ότι $\displaystyle{\int_{a}^{\beta}f(x) \, {\rm d}x > f(a) \left ( \beta-a \right )}$ . Τότε έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2017} f(x) \, {\rm d}x &= \int_{0}^{1} f(x) \, {\rm d}x + \cdots + \int_{2016}^{2017} f(x) \,{\rm d}x \\ &>f(0) \left ( 1-0 \right ) + f(1) \left ( 2-1 \right ) + \cdots f\left ( 2016 \right ) \left ( 2017 - 2016 \right ) \\ &= f(0) + f(1) + \cdots + f(2016) \end{aligned}}$ δηλ. το ζητούμενο.

(γ) Ξεκινάμε με τη κλασσική αλλαγή μεταβλητής $u=f^{-1}(x)$ και έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{10} f(x) \, {\rm d}x + \int_{8}^{13} f^{-1} (x) \, {\rm d}x &\overset{u=f^{-1}(x)}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{10} f(x) \, {\rm d}x + \int_{1}^{10} x f'(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{1}^{10} f(x) \, {\rm d}x + \left [ x f(x) \right ]_1^{10} - \int_{1}^{10} f(x) \, {\rm d}x\\ &= 10 f(10) - f(1) + \cancel{\int_{1}^{10} f(x) \, {\rm d}x - \int_{1}^{10} f(x) \, {\rm d}x} \\ &= 10 \cdot 13 - 8 \\ &=130 -8 \\ &=122 \end{aligned}}$ (δ) Στο διάστημα [1, 10]

η

είναι συνεχής , θετική και σε αυτό παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Τότε
$\displaystyle{\begin{matrix} f(1) \leq f(x) \leq f(10) & &\Rightarrow \\\\ 8\leq f(x) \leq 13& & \Rightarrow \\\\ 64 \leq f^2(x) \leq 169 & & \end{matrix}}$ Επίσης
$\displaystyle{\begin{matrix} f(1) \leq f(x) \leq f(10) & & \Rightarrow \\\\ -21 f(1) \geq -21 f(x) \geq -21 f(10) & & \Rightarrow \\\\ -21 f(10) \leq -21 f(x) \leq -21 f(1)& & \Rightarrow \\\\ -273 \leq -21 f(x) \leq -168& & \end{matrix}}$ Μήπως έχει γίνει κάποιο λαθάκι και θέλει αντί για ; Το βγαίνει , αλλά αν προσθέσω το με το εκτός και αν έχω κάνει λάθος στις αντιστροφές των φορών των ανισοτήτων.

dement · #3

erxmer έγραψε:
2) Αν ισχύει $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx>f(a)(b-a), a<b, a,b \in R}$ .

Για

δεν μπορεί να ισχύει αφού η

πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα στο $(- \infty, 0)$ . Για παρόμοιο λόγο, ισχύει σίγουρα για $a, b \geqslant 0$ . Προτείνω να αφαιρεθεί τελείως η υπόθεση (ή να συμπεριληφθεί ως υποερώτημα για a, b

θετικά).

Tolaso J Kos · #4

Δημήτρη,

ωραία παρατήρηση. Μήπως έχεις και κανένα τρόπο για το το τελευταίο ή όντως είναι λάθος και πρέπει να το προσαρμόσουμε ;

dement · #5

Τόλη, η πρόσθεση κατά μέλη που κάνεις είναι σωστή αλλά, λόγω της αντιστροφής, τα ακρότατα αναφέρονται σε διαφορετικά σημεία και έτσι δεν είναι βέλτιστη. Δοκίμασε f^2 (x) - 21 f(x) + 104 = [f(x) - 8] [f(x) - 13]

.

Tolaso J Kos · #6

dement έγραψε:.... Δοκίμασε .

Και η αλήθεια είναι πως μου πέρασε από το μυαλό αυτό το συγκεκριμένα τέχνασμα, αλλά μετά είπα "μπα, άκυρο δε θα πάει από κει. " Και έτσι πήγα κατασκευαστικά. Τώρα από δω τα πράγματα απλουστεύονται και πλέον το αποτέλεσμα είναι εμφανές.

Ευχαριστώ.

Ανεστραμμένη

Ανεστραμμένη

Re: Ανεστραμμένη

Re: Ανεστραμμένη

Re: Ανεστραμμένη

Re: Ανεστραμμένη

Re: Ανεστραμμένη

Μέλη σε σύνδεση