Θεωρητική

erxmer · #1

Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g: R \to R$ ώστε η

να είναι γνήσια αύξουσα και η

να είναι γνήσια φθίνουσα στο

. Aν

είναι αρχικές τους και υπάρχει x_0>0

ώστε

και

δείξτε οτι:

1) Η

είναι κυρτή και η

κοίλη

2) H συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0}$ είναι γνήσια αύξουσα

3) $\displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}$

Yγ ελπίζω μετα τις αλλαγές που προτείνατε να μην έχει κάτι άλλο...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g: R \to R$ ώστε η να είναι γνήσια αύξουσα και η να είναι γνήσια φθίνουσα στο . Aν είναι αρχικές τους και υπάρχει ώστε δείξτε οτι:

1) Η είναι κυρτή και η κοίλη

2) Υπάρχει $a \in (0,x_0)$ ώστε

3) H συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0}$ είναι γνήσια αύξουσα

4) $\displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y , \in (0,x_0)}$

Το 2 δεν ισχύει
$f(x)=e^{x},g(x)=e^{-x},F(x)=e^{x},G(x)=-e^{-x}+e+e^{-1}$
$x_{0}=1,F(1)=G(1)$
ενώ $x\in (0,1)\Rightarrow f(x)> g(x)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g: R \to R$ ώστε η να είναι γνήσια αύξουσα και η να είναι γνήσια φθίνουσα στο . Aν είναι αρχικές τους και υπάρχει ώστε δείξτε οτι:

1) Η είναι κυρτή και η κοίλη

2) H συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0}$ είναι γνήσια αύξουσα

3) $\displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y>0}$

Το 2) δεν είναι σωστό.Για $f(x)=F(x)=e^{x}$ η $\dfrac{e^{x}}{x},x> 0$
δεν είναι γνησίως αύξουσα

Η άσκηση σώζετε αν προστεθεί στις υποθέσεις F(0)=G(0)=0

Αλλα τότε
Το 3) δεν είναι σωστό έτσι.(παράδειγμα το παραπάνω)
Είναι σωστό αν $x,y\in (0,x_{0})$
Δηλαδή όπως ήταν στην αρχική εκφώνηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g: R \to R$ ώστε η να είναι γνήσια αύξουσα και η να είναι γνήσια φθίνουσα στο . Aν είναι αρχικές τους και υπάρχει ώστε και δείξτε οτι:

1) Η είναι κυρτή και η κοίλη

2) H συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0}$ είναι γνήσια αύξουσα

3) $\displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}$

Yγ ελπίζω μετα τις αλλαγές που προτείνατε να μην έχει κάτι άλλο...

Με αυτή την μορφή η άσκηση είναι εντάξει.
Θα έλεγα μάλιστα ότι είναι πολύ καλή για θεωρητική άσκηση.
Το μόνο που χρειάζεται για την λύση της είναι η κατανόηση της θεωρίας.

#5

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g: R \to R$ ώστε η να είναι γνήσια αύξουσα και η να είναι γνήσια φθίνουσα στο . Aν είναι αρχικές τους και υπάρχει ώστε και δείξτε οτι:

1) Η είναι κυρτή και η κοίλη

2) H συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0}$ είναι γνήσια αύξουσα

3) $\displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}$

Yγ ελπίζω μετα τις αλλαγές που προτείνατε να μην έχει κάτι άλλο...

...ΛΥΣΗ....

1) Επειδή {F}'(x)=f(x)

που είναι γνήσια αύξουσα, η

είναι κυρτή και επειδή {G}'(x)=g(x)

που είναι γνήσια φθίνουσα στο

, η

είναι κοίλη.

2) Είναι ${h}'(x)=\frac{x{F}'(x)-F(x)}{{{x}^{2}}},\,\,\,x>0$ (1) και στο διάστημα $[0,\,\,x],\,\,x>0$ σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής για την παραγωγίσιμη

, υπάρχει $\xi \in (0,\,\,x)$ ώστε ${F}'(\xi )=\frac{F(x)-F(0)}{x}\Leftrightarrow x{F}'(\xi )=F(x),\,\,\,x>0$ επομένως από (1)

${h}'(x)=\frac{x{F}'(x)-x{F}'(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{{F}'(x)-{F}'(\xi )}{x}=\frac{f(x)-f(\xi )}{x}>0$ γιατί

να είναι γνήσια αύξουσα και $0<\xi <x$ άρα η $\displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0}$ είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$

3) Θέλουμε $\displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}$ ή $\frac{F(x)}{x}<\frac{G(y)}{y}\,\,,x,y\in (0,{{x}_{0}})$

Λόγω του (2) για $0<x<{{x}_{0}}\overset{h:<}{\mathop{\Rightarrow }}\,h(x)<h({{x}_{0}})=0$

Τώρα για την $\phi (x)=\frac{G(x)}{x},x>0$ Είναι ${\phi }'(x)=\frac{x{G}'(x)-G(x)}{{{x}^{2}}},\,\,\,x>0$ (2) και στο διάστημα $[0,\,\,x],\,\,x>0$

σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής για την παραγωγίσιμη

, υπάρχει $\xi \in (0,\,\,x)$ ώστε ${G}'(\xi )=\frac{G(x)-G(0)}{x}\Leftrightarrow x{G}'(\xi )=G(x),\,\,\,x>0$

επομένως από (1) ${\phi }'(x)=\frac{x{G}'(x)-x{G}'(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{{G}'(x)-{G}'(\xi )}{x}=\frac{g(x)-g(\xi )}{x}<0$

γιατί

είναι γνήσια φθίνουσα και $0<\xi <x$ άρα η $\phi (x)=\frac{G(x)}{x},x>0$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0,\,\,+\infty )$

Άρα για $0<y<{{x}_{0}}\overset{\phi :\searrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,\phi (y)>\phi ({{x}_{0}})=0$ επομένως ισχύει ότι

$h(x)<0<\phi (y)$ ή $\frac{F(x)}{x}<0<\frac{G(y)}{y}\,\,x,y\in (0,{{x}_{0}})$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Μετά την εξαίρετη λύση του Βασίλη ας δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση κάποιων σημείων.

1)Θέλουμε F'(x)x-F(x)> 0,x> 0

Αφου η

είναι κυρτή παίρνοντας την εφαπτομένη της στο (x,F(x))

θα έχουμε

$F(t)\geq F(x)+F'(x)(t-x),t\in \mathbb{R}$

με ισότητα για t=x

Επειδή

για

παίρνουμε

που είναι η ζητούμενη

2)Ειναι φανερό ότι

είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Επίσης η

είναι κοίλη αν και μόνο αν η

είναι κυρτή.

Ετσι έχουμε

κοίλη $\Rightarrow$ \displaystyle{-G κυρτή

\Rightarrow} $-\dfrac{G(x)}{x}$ γνησίως

αύξουσα $\Rightarrow \dfrac{G(x)}{x}$ γνησίως φθίνουσα

Θεωρητική

Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Μέλη σε σύνδεση