Υπολογιστική

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση

δυο φορές παραγωσίσιμη στο

για την οποία ισχύει οτι: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f'(x)=\sqrt{1+f^2(x)}\\ \\ f(0)=0,f'(0)=2\\ \end{matrix}\right.}$ .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Nα λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{e^{2\left ( x+cosx \right )+e^{-x}}-e^{e^{-x}}=e^{x+cosx+2e^{-x}}-e^{x+cosx}}$

3) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{e^{2x}=ae^x+1, a \in R}$

4) Δείξτε οτι η εξίσωση $\displaystyle{e^{4x}+e^{3x}-3e^{2x}-2e^x+2=0}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,ln2)

5) Nα βρεθεί το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ της C_f

και της

και των ευθειών x=1, x=4

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωσίσιμη στο για την οποία ισχύει οτι: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} f'(x)=\sqrt{1+f^2(x)}\\ \\ f(0)=0,f'(0)=2\\ \end{matrix}\right.}$ .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Nα λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{e^{2\left ( x+cosx \right )+e^{-x}}-e^{e^{-x}}=e^{x+cosx+2e^{-x}}-e^{x+cosx}}$

3) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{e^{2x}=ae^x+1, a \in R}$

4) Δείξτε οτι η εξίσωση $\displaystyle{e^{4x}+e^{3x}-3e^{2x}-2e^x+2=0}$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο

5) Nα βρεθεί το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ της και της και των ευθειών

Καλησπέρα,

με την επιστροφή από ταξίδι μας στο εξωτερικό έχουμε και λέμε για την παραπάνω άσκηση.

(α) Παραγωγίζοντας την αρχική σχέση έχουμε
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) = \sqrt{1+f^2(x)} &\Rightarrow f''(x) = \frac{2f(x) f'(x)}{2 \sqrt{1+f^2(x)}} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{f'(x)= \sqrt{1+f^2(x)}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!\Rightarrow } f''(x) = \frac{\bcancel{2} f(x) \cancel{\sqrt{1+f^2(x)}}}{\bcancel{2} \cancel{\sqrt{1+f^2(x)}}} \\ &\Rightarrow f''(x) = f(x) \end{aligned}}$ Οπότε
$\displaystyle{\begin{aligned} f''(x) = f(x) &\Rightarrow f''(x) + f'(x) = f'(x) + f(x) \\ &\Rightarrow e^x \left ( f''(x) + f'(x) \right ) = e^x \left ( f'(x) + f(x) \right ) \\ &\Rightarrow \left ( e^x f'(x) \right ) ' = \left ( e^x f(x) \right )' \\ &\Rightarrow e^x f'(x) = e^x f(x) + c \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{x=0 \Rightarrow c=2}{=\! =\! =\! =\! =\!\Rightarrow} e^x f' (x) = e^x f(x) + 2 \\ &\Rightarrow f'(x) - f(x) = 2e^{-x} \\ &\Rightarrow e^{-x} \left ( f'(x) - f(x) \right ) = 2e^{-2x} \\ &\Rightarrow \left ( e^{-x} f(x) \right ) ' = -\left ( e^{-2x} \right ) ' \\ &\Rightarrow e^{-x} f(x) = e^{-2x} + c' \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{x=0 \Rightarrow c'=1}{=\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow } e^{-x} f(x) = -e^{-2x} + 1 \\ &\Rightarrow f(x) =e^x - e^{-x} \;\; , \;\; x \in \mathbb{R} \end{aligned}}$ Συνάρτηση που επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες.

(β) Δε το βλέπω αυτή τη στιγμή.

(γ) Η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ αφού f'(x)>0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Το σύνολο τιμών της είναι το $\mathbb{R}$ καθώς $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$ και $\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$ . Η δοσμένη παραμετρική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
$\displaystyle{\begin{aligned} e^{2x} =ae^x + 1 &\Leftrightarrow e^{x+x} = ae^x + 1 \\ &\Leftrightarrow e^x e^x = ae^x +1 \\ &\Leftrightarrow e^x =a + e^{-x} \\ &\Leftrightarrow e^x - e^{-x} = a \\ &\Leftrightarrow f(x) = a \end{aligned}}$ Από τη παραπάνω ανάλυση είδαμε πως κάθε ευθεία y=a

τέμνει μία φορά το γράφημα της

.

(δ) Άμεσο από Bolzano. Δε βλέπω τι σχέση έχει εδώ η συνάρτηση. Αυτό διότι αν θεωρήσουμε τη συνεχή συνάρτηση
$\displaystyle{g(x) = e^{4x}+e^{3x}-3e^{2x}-2e^x+2 \; , \; x \in [0, \ln 2]}$ τότε g(0)=-3<0

ενώ $g(\ln 2)=10$ . Το ζητούμενο έπεται.

(ε) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση $g(x)=e^x - e^{-x} - \ln x$ είναι θετική στο δοθέν διάστημα. Τότε το εμβαδόν που περικλείεται του γραφήματος αυτής, του άξονα x'x

και των ευθειών $x=1, \; x =4$ είναι ίσο με
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{1}^{4} \left ( e^x - e^{-x} - \ln x \right ) \, {\rm d}x\\ &=3 + e^{-4} -e^{-1} -e+e^4 -8 \ln 2 \\ &\approx 48.985 \end{aligned}}$ Ελπίζω , λόγω κούρασης , να μην έχει ξεφύγει κάτι ...

Tolaso J Kos · #3

Κοιτάζοντας την άσκηση και ιδιαίτερα την αρχική σχέση προσπαθούσα να θυμηθώ που την έχω ξανά δει αυτή τη σχέση. Παλαιότερα , όταν επί της ύλης ήταν η συνάρτηση ολοκλήρωμα κυκλοφορούσε η ακόλουθη άσκηση

Θέμα

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με f'(1)=1

και τέτοια ώστε
$\displaystyle{f(x)=\int_1^x \sqrt{\lambda + f^2(x)} \, {\rm d}x \quad \text{\gr για κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ και ζητούσε διάφορα ερωτήματα. Ένα εξ' αυτών ήταν το εξής: Δείξατε ότι $f'(x)+f(x)=e^{1-x}$ και $f'(x)-f(x)=e^{1-x}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ από όπου προέκυπτε και η

με μία αφαίρεση κατά μέλη.

Και εδώ μπορούμε να το κάνουμε. Θα οδηγηθούμε σε παρόμοιες σχέσεις και θα βγει η

.

dement · #4

Τόλη, για ξαναδές τα. Η συνάρτηση που βρήκες δεν επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες. Καμιά συνάρτηση δεν επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες.

Tolaso J Kos · #5

dement έγραψε:Τόλη, για ξαναδές τα. Η συνάρτηση που βρήκες δεν επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες. Καμιά συνάρτηση δεν επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες.

Πάρα πολύ ωραία.. !!

Συνεπώς δεν έχουμε συνάρτηση. Άψογα ... !!

Η αλήθεια είναι πως δεν έκανα επαλήθευση , αλλά επειδή θυμόμουν την άσκηση που παρέθεσα ήξερα τι περίπου θα βγάλω.

M.S.Vovos · #6

Σαφέστατα είναι λάθος το f'(0)

. Μάλιστα δεν χρειάζεται να δοθέι καν, μόνο η εικόνα της

στο

χρειάζεται.

Τόλη, η διαφορική είναι σε ΌΛΑ τα βιβλία (βοηθήματα κ.τ.λ.)

Αν δεν κάνω λάθος, πρωτοεμφανίστηκε από τη Ε.Μ.Ε. στα θέματα της.

Πάνω σε αυτό, θα ήθελα να συμφωνήσω με κάποια λόγια που είχε γράψει ο κ. Νίκος Μαυρογιάννης. ΌΛΕΣ αυτές οι διαφορικές που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο;

Φιλικά.

erxmer · #7

Δες εδω σελίδες 17 εως 30 και εδω που ενω τυπικά είναι εκτός ύλης αν οι μαθητές δεν το γνωρίζουν χάνουν μεγαλο μέρος της μεθοδολογίας.

Υπολογιστική

Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Re: Υπολογιστική

Μέλη σε σύνδεση