Διπλές

erxmer · #1

∆ίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x-1}, x \neq 1}$ , μία αρχική της

η $F, x \geq 2$ και η συνάρτηση $G, x \geq 2$ . Η

είναι αρχική της

.

1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των F, G

και να δείξετε ότι
G(x) = (x-1)ln(x-1)-x + 2

2) Να µελετήσετε την

ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα.

3) Να βρείτε το εµβαδόν

του χωρίου που περικλείεται από τη C_G

, τον άξονα x'x

και τις
ευθείες x = 2, x = 3

.

4) Να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x \to 2}\frac{G(x)}{x-2}}$ και το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{G^{-1}(x)}{lnx}}$

#2

erxmer έγραψε:∆ίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x-1}, x \neq 1}$ , μία αρχική της η $F, x \geq 2$ και η συνάρτηση $G, x \geq 2$ . Η είναι αρχική της .

1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των και να δείξετε ότι

2) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα.

3) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , τον άξονα και τις
ευθείες .

4) Να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x \to 2}\frac{G(x)}{x-2}}$ και το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{G^{-1}(x)}{lnx}}$

Είναι $F\left( x \right) = \int\limits_2^x {f\left( t \right)dt} = \int\limits_2^x {f\left( t \right)dt} = \int\limits_2^x {\dfrac{1}{{t - 1}}dt} = \left[ {\ln \left( {t - 1} \right)} \right]_2^x$ $= \ln \left( {x - 1} \right) \Rightarrow \boxed{F\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right),x \in \left[ {2, + \infty } \right)}$ .

και $G\left( x \right) = \int\limits_2^x {F\left( t \right)dt} = \int\limits_2^x {\ln \left( {t - 1} \right)dt} =$ $\left[ {t\ln \left( {t - 1} \right)} \right]_2^x - \int\limits_2^x {\dfrac{t}{{t - 1}}dt} = x\ln \left( {x - 1} \right) - \int\limits_2^x {\dfrac{{t - 1 + 1}}{{t - 1}}dt} =$

$x\ln \left( {x - 1} \right) - \int\limits_2^x {\left( {1 + \dfrac{1}{{t - 1}}} \right)dt} =$ $x\ln \left( {x - 1} \right) - \left[ {t + \ln \left( {t - 1} \right)} \right]_2^x =$ $x\ln \left( {x - 1} \right) - \left( {x + \ln \left( {x - 1} \right) - 2} \right)$

$= x\ln \left( {x - 1} \right) - x - \ln \left( {x - 1} \right) + 2 \Rightarrow$ $\boxed{G\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2,x \in \left[ {2, + \infty } \right)}$ .

2) Είναι $G'\left( x \right) = F\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right),x \in \left[ {2, + \infty } \right)$ . Για $x > 2 \Rightarrow x - 1 > 1 \Rightarrow \ln \left( {x - 1} \right) > 0 \Rightarrow G'\left( x \right) > 0$

$,\forall x \in \left( {2, + \infty } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{G\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,(\omega \varsigma \,\,\pi \alpha \rho \alpha \gamma \omega \gamma \iota \sigma \iota \mu \eta )\,\,\sigma \tau o\,\,\left[ {2, + \infty } \right)} G$ γνησίως αύξουσα και

$G''\left( x \right) = f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 1}},x \in \left[ {2, + \infty } \right)$ για την οποία ισχύει προφανώς $G''\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {2, + \infty } \right) \Rightarrow G$ κυρτή.

3) Με γνησίως αύξουσα θα είναι $\forall x \geqslant 2\mathop \Rightarrow \limits^{G \uparrow \,\,} G\left( x \right) \geqslant G\left( 2 \right) = \ln 1 - 2 + 2 = 0 \Rightarrow$

$E = \int\limits_2^3 {G\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2} \right]dx} =$ $\int\limits_2^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right)} \right]dx} + \int\limits_2^3 {\left( { - x + 2} \right)dx} =$

$\int\limits_2^3 {\left[ {{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)}^\prime }\ln \left( {x - 1} \right)} \right]dx} + \left[ { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right]_2^3 =$ $\left[ {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)\ln \left( {x - 1} \right)} \right]_2^3 - \int\limits_2^3 {\left[ {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right) \cdot \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]dx} + \left( { - \dfrac{9}{2} + 6 + 2 - 4} \right) =$

$\left( {\dfrac{9}{2} - 3} \right)\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}dx} - \dfrac{1}{2} =$ $\dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 2x + 1 - 1}}{{x - 1}}dx} - \dfrac{1}{2} =$ $\dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 1}}dx} - \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\left[ {x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]dx} - \dfrac{1}{2} =$ $\dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left( {x - 1} \right)} \right]_2^3 - \dfrac{1}{2}$

$= \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{9}{2} - 3 - \ln 2} \right) - 2} \right] - \dfrac{1}{2} \Rightarrow$ $\ldots \boxed{E = 2\ln 2 - \dfrac{1}{4}}$ τ.μ

4) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{G\left( x \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2}}{{x - 2}} =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 1} \right)\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}} - 1} \right]$ $\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\mathop = \limits^{\dfrac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x - 1}} = 1} 1 \cdot 1 - 1 \Rightarrow$ $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{G\left( x \right)}}{{x - 2}} = 0}$ .

Είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } G\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2} \right] =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x - 1} \right)\left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - 1} \right] + 1} \right]$ $\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - 1} \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - 1} \right] = + \infty } + \infty$

Αρα $x \to + \infty \mathop \Leftrightarrow \limits^{G \uparrow } G\left( x \right) \to + \infty$ . Θέτουμε $x = G\left( u \right)$ και έχουμε

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{G^{ - 1}}\left( x \right)}}{{\ln x}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \dfrac{{{G^{ - 1}}\left( {G\left( u \right)} \right)}}{{\ln G\left( u \right)}} =$ $\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \dfrac{u}{{\ln \left[ {\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right) - u + 2} \right]}}\mathop = \limits^{\dfrac{{ + \infty }}{{ + \infty }},De\,\,L'\,Hospital}$ $\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \dfrac{1}{{\dfrac{{\ln \left( {u - 1} \right)}}{{\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right) - u + 2}}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \dfrac{{\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right) - u + 2}}{{\ln \left( {u - 1} \right)}}\mathop = \limits^{\dfrac{{ - \infty }}{{ + \infty }},De\,\,L'\,Hospital}$ $\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \dfrac{{\ln \left( {u - 1} \right) + 1 - 1}}{{\dfrac{1}{{u - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \left[ {\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right)} \right] = + \infty$ $\Rightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{G^{ - 1}}\left( x \right)}}{{\ln x}} = + \infty }$ .

Στάθης

Διπλές

Διπλές

Re: Διπλές

Μέλη σε σύνδεση