Αρχικές(*fixed*)

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Αρχικές(*fixed*)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Μαρ 28, 2017 2:15 pm

Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{1}{x^2+1}, x \in \mathbb{R}} και F μια αρχική της f για την οποία ισχυεί οτι F(1)=\frac{\pi}{4}. Αν \displaystyle{G(x)=tanx, x \in \mathbb{R} -\{k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}}

διαγραφή ερωτήματος
Δ1. Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.

Δ2. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F' , τον xx' και τις ευθείες x=0 και x=1

Δ3. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{F(x)=\frac{\pi}{2}-F\left ( \frac{1}{x} \right )} σε κατάλληλο διάστημα και στη συνέχεια να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της C_F στο +\infty .

Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F , τον xx' και τις ευθείες x=0 και x=1

Δ5. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( H(x+2017)-H(x) \right )}, με H μια αρχική της F .

ευχαριστώ τον χρήστη dement για την βοήθεια... :lol:
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Τετ Μαρ 29, 2017 8:34 pm, έχει επεξεργασθεί 8 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1346
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Αρχικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μαρ 28, 2017 3:42 pm

erxmer έγραψε: Δ1. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{(F \circ G)(x)=x} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R} -\{k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}}
Δεν ισχύει. Η F είναι αναγκαστικά φραγμένη.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1346
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Αρχικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μαρ 28, 2017 8:35 pm

Δώσε μια συνθήκη για την F αλλιώς δεν ισχύει ούτε το (νέο) Δ3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1346
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Αρχικές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μαρ 29, 2017 11:14 am

Δεν έγινα κατανοητός (αν και χρειαζόταν και η αλλαγή που έκανες). Αν δεν επιβάλεις μια αρχική συνθήκη στην F (πέρα από το ότι είναι παράγουσα της f), μπορεί να επιλεγεί μία που δεν θα ικανοποιεί το Δ3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1446
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Αρχικές(*fixed*)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Μαρ 30, 2017 12:47 am

erxmer έγραψε:Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{1}{x^2+1}, x \in \mathbb{R}} και F μια αρχική της f για την οποία ισχυεί οτι F(1)=\frac{\pi}{4}. Αν \displaystyle{G(x)=tanx, x \in \mathbb{R} -\{k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}}

διαγραφή ερωτήματος
Δ1. Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.

Δ2. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F' , τον xx' και τις ευθείες x=0 και x=1

Δ3. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{F(x)=\frac{\pi}{2}-F\left ( \frac{1}{x} \right )} σε κατάλληλο διάστημα και στη συνέχεια να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της C_F στο +\infty .

Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F , τον xx' και τις ευθείες x=0 και x=1

Δ5. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( H(x+2017)-H(x) \right )}, με H μια αρχική της F .

ευχαριστώ τον χρήστη dement για την βοήθεια... :lol:
...μετά από την περιπέτεια των επεξεργασιών αφού είχα στείλει και εγώ Π.Μ. στο δημιουργό, να μη πάει χαμένος ο κόπος
στο κατα τα άλλα απαιτητικό θέμα...

Δ1. Είναι {F}'(x)=f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}>0,\,\,\,x\in R άρα F είναι γνήσια αύξουσα στο R και

{F}''(x)={f}'(x)=-\frac{2x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}},\,\,\,x\in Rοπότε {F}''(x)<0,\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty ),\,\,\,{F}''(x)>0,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)

επομένως F είναι κυρτή στο (-\infty ,\,\,0] και κοίλη στο [0,\,\,+\infty )

Δ2. Το ζητούμενο εμβαδό είναι E(\Omega )=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} αφού f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}>0,\,\,\,x\in [0,\,\,1]

άρα αφού F μια αρχική της f είναι E(\Omega )=\left[ F(x) \right]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\frac{\pi }{4}-F(0)

Τώρα (…από την προηγούμενη ανάρτηση ) η συνάρτηση h(x)=F(G(x))-x,\,\,\,x\in (-\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2}) είναι σταθερή αφού

{h}'(x)={F}'(G(x)){G}'(x)-1=f(\tan x)(1+{{\tan }^{2}}x)-1=0,\,\,\,x\in (-\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2})δηλαδή

F(G(x))-x=c,\,\,\,x\in (-\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2})και επειδή F(1)=\frac{\pi}{4} με όπου x το \frac{\pi }{4} ισχύει ότι

F(G(\frac{\pi }{4}))-\frac{\pi }{4}=c\Rightarrow F(1)-\frac{\pi }{4}=c\Rightarrow 0=c επομένως F(G(x))-x=0\Leftrightarrow F(G(x))=x,\,\,\,x\in (-\frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2})

και από εκεί έχουμε ότι F(G(0))=0\Rightarrow F(0)=0 άρα E(\Omega )=\frac{\pi }{4}

Δ3. Η συνάρτηση \phi (x)=F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right)-\frac{\pi }{2} για x\ne 0 είναι παραγωγίσιμη με

{\phi }'(x)={F}'(x)-\frac{1}{{{x}^{2}}}{F}'\left( \frac{1}{x} \right)=f(x)-\frac{1}{{{x}^{2}}}f(\frac{1}{x})=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}-\frac{1}{{{x}^{2}}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}=0

άρα είναι σταθερή και στο (-\infty ,\,\,0) και στο (0,\,\,+\infty ) και επειδή

F(1)=\frac{\pi}{4} είναι \phi (1)=F(1)+F\left( 1 \right)-\frac{\pi }{2}=0 άρα

F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right)-\frac{\pi }{2}=0,\,\,x\in (0,\,\,+\infty ) άρα F(x)=\frac{\pi }{2}-F\left( \frac{1}{x} \right),\,\,x\in (0,\,\,+\infty )

Τώρα επειδή \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F\left( \frac{1}{x} \right)\underset{\begin{smallmatrix}  
 x\to +\infty  \\  
 u\to 0  
\end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{1}{x}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,F(u)=F(0)=0(…από Δ1)

είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\pi }{2}-F\left( \frac{1}{x} \right) \right)=\frac{\pi }{2}

άρα η ευθεία y=\frac{\pi }{2}είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της F στο +\infty.

...συνεχίζεται....

Δ4. Το ζητούμενο εμβαδό είναι E(\Omega )=\int\limits_{0}^{1}{|F(x)|dx} και επειδή {F}'(x)=f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}>0,\,\,\,x\in R

και F(0)=0 είναι F(x)>F(0)=0,\,\,\,x>0 έτσι

E(\Omega )=\int\limits_{0}^{1}{F(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{{x}'F(x)dx}=\left[ xF(x) \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{x{F}'(x)dx}=F(1)-\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=

=\frac{\pi }{4}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\left[ \ln ({{x}^{2}}+1) \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\ln 2

Δ5. Είναι {H}'(x)=F(x) και {H}''(x)={F}'(x)=f(x)>0 επομένως η H είναι κυρτή στο R με εφαπτομένη στο σημείο της

(1,\,\,H(1)) την y-H(1)={H}'(1)(x-1)\Leftrightarrow y=F(1)(x-1)+H(1) και λόγω κυρτότητας θα ισχύει ότι

H(x)\ge \frac{\pi }{4}(x-1)+H(1),\,\,\,x\in R και επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\pi }{4}(x-1)+H(1) \right)=+\infty λόγω της ανισότητας

(…πλέον σχολικά μπορούμε να το χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη) θα είναι και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( H(x) \right)=+\infty και τότε \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( H(x+2017)-H(x) \right) είναι της μορφής \infty -\infty

Και τότε στα διαστήματα [0,\,x],\,\,[x,\,x+2017],\,\,[x+2017,\,\,2x+2017] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν

{{x}_{1}}\in (0,\,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,x+2017),\,\,{{x}_{3}}\in (x+2017,\,\,2x+2017) ώστε

{H}'({{x}_{1}})=\frac{H(x)-H(0)}{x}\Leftrightarrow F({{x}_{1}})=\frac{H(x)-H(0)}{x} και

{H}'({{x}_{2}})=\frac{H(x+2017)-H(x)}{2017}\Leftrightarrow F({{x}_{2}})=\frac{H(x+2017)-H(x)}{2017} και

{H}'({{x}_{3}})=\frac{H(2x+2017)-H(x+2017)}{x}\Leftrightarrow F({{x}_{3}})=\frac{H(2x+2017)-H(x+2017)}{x}

και λόγω μονοτονίας της F θα ισχύει ότι F({{x}_{1}})<F({{x}_{2}})<F({{x}_{3}}) δηλαδή ότι

\frac{H(x)-H(0)}{x}<\frac{H(x+2017)-H(x)}{2017}<\frac{H(2x+2017)-H(x+2017)}{x}(1)
Τώρα επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{H(x)-H(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( H(x)-H(0) \right)}^{\prime }}}{{{x}'}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{H}'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,F(x)=\frac{\pi }{2} και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{H(2x+2017)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2F(2x+2017)}{1}=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{H(x+2017)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{F(x+2017)}{1}=\frac{\pi }{2} άρα

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{H(2x+2017)-H(x+2017)}{x}=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2} από (1)

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{H(x+2017)-H(x)}{2017}=\frac{\pi }{2}άρα \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( H(x+2017)-H(x) \right)=\frac{2017\pi }{2}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1764
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αρχικές(*fixed*)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:59 pm

Δεν νομίζω να χρειάζεται τόσος κόπος για το Δ5.

Από ΘΜΤ έχουμε H(x+2017)-H(x)=2017H'(\xi(x)),x< \xi(x)< x+2017

Αλλά H'(x)=F(x) και όπως έχει αποδειχθεί \lim_{x\rightarrow \infty }F(x)=\frac{\pi }{2}

Θέτοντας u=\xi (x) έχουμε ότι για x\rightarrow \infty και u\rightarrow \infty

Τελικά \lim_{x\rightarrow \infty }H'(\xi (x))=\lim_{x\rightarrow \infty }F(\xi (x))=\lim_{u\rightarrow \infty }F(u)=\frac{\pi }{2}

Αρά το αρχικό όριο είναι 2017\frac{\pi }{2}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1764
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αρχικές(*fixed*)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μαρ 31, 2017 1:02 am

Αλλιώς .

Από ΘΜΤ έχουμε H(x+2017)-H(x)=2017H'(\xi),x< \xi< x+2017

Αλλά H'(x)=F(x) και η F(x) γνησίως αύξουσα.

Αρα F(x)2017\leq H(x+2017)-H(x)\leq 2017F(x+2017)

Επειδή \lim_{x\rightarrow \infty }F(x)=\lim_{x\rightarrow \infty }F(x+2017)=\frac{\pi }{2}

το κριτήριο παρεμβολής μας δίνει ότι το όριο είναι 2017\frac{\pi }{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης