Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Έστω η συνεχής και άρτια συνάρτηση . Αν είναι η παράγουσα της , που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε ισχύει:
, τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή στο .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι , .
(β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη στα και και να βρείτε τον τύπο της στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η αντιστρέψιμη στο ?
(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία αν γνωρίζετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος
, τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή στο .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι , .
(β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη στα και και να βρείτε τον τύπο της στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η αντιστρέψιμη στο ?
(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία αν γνωρίζετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Ολίγον τι ψαρωτικό θεματάκι μέχρις να πιάσεις τη φιλοσοφία του! Κατά τα άλλα κυλάει ομαλά.M.S.Vovos έγραψε: Έστω η συνεχής και άρτια συνάρτηση . Αν είναι η παράγουσα της , που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε ισχύει:
, τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή στο .
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι , .
(β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη στα και και να βρείτε τον τύπο της στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η αντιστρέψιμη στο ?
(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία αν γνωρίζετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος
(α.ι) Εφόσον η γραφική παράσταση της περνάει από την αρχή των αξόνων θα είναι . Τότε επειδή η είναι άρτια θα ισχύει ότι για κάθε θα είναι και καθώς και
Κατά συνέπεια θα είναι και άρα . Επειδή όμως θα είναι εν τέλει και άρα οπότε η είναι τελικά περιττή.
(α.ii) Η ως παράγουσα της συνεχούς είναι παραγωγίσιμη με . Συνεπώς είναι γνήσια αύξουσα και άρα . Η δοσμένη σχέση δίδει:
(β) Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο . Είναι . Επίσης για κάθε . Άρα στο η είναι γνήσια αύξουσα ενώ στο η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα. Συνεπώς σε καθένα από τα διαστήματα και είναι η αντιστρέψιμη. Στο δε μπορεί να είναι αφού λόγω αρτιότητας.
Ας βρούμε την αντίστροφη στο . Θέτουμε και τότε:
Συνεπώς η αντίστροφη στο ο τύπος της αντίστροφης είναι ο .
(γ) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται της γραφικής παράστασης , των αξόνων και της ευθείας δίδεται του τύπου
Όμως για κάθε αφού και κατά συνέπεια . Άρα:
Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θέτουμε και καταλήγουμε στο που βγαλα πάνω.
Υ.Σ: Το ολοκλήρωμα που δίδεται πάνω δε μπόρεσα να το χρησιμοποιήσω ... οπότε αναγκάστηκα να αλλάξω γραμμή πλεύσης.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Αν στο ολοκλήρωμα , κάνεις την αντικατάσταση
, βρίσκεις
, βρίσκεις
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Έπρεπε να κάνω δηλαδή πράξεις ; Μπα, δε θα παιρνα.. Νόμισα θα βγει από μόνο του κάπου κατά τη διάρκεια του υπολογισμού αλλά αφού δε βγήκε , τι να κάνω ;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Μα αυτή η αντικατάσταση σε γλιτώνει από τις πράξεις.Tolaso J Kos έγραψε:Έπρεπε να κάνω δηλαδή πράξεις ; Μπα, δε θα παιρνα.. Νόμισα θα βγει από μόνο του κάπου κατά τη διάρκεια του υπολογισμού αλλά αφού δε βγήκε , τι να κάνω ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν
Να δούμε δηλαδή το λήμμα:
Έστω συνεχής με συνεχή παράγωγο στο . αν η αντιστρέφεται και η αντίστροφη είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε :
Εφαρμογή:
Έστω συνεχής με συνεχή παράγωγο στο . αν η αντιστρέφεται και η αντίστροφη είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε :
Εφαρμογή:
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες