Nice

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Nice

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Απρ 13, 2017 7:34 pm

Δίνεται η δις παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [-2,2] \to R ώστε \displaystyle{f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0, f(0)=\sqrt{3}}

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Αν το a είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης να βρεθεί η τιμή του

3) Να δειχθεί οτι η C_f δεν έχει σημείο καμπής

4) \displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( f^2(x)+xf(x) \right )^2dx}

5) Να σχεδιαστεί η C_f
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Δευ Απρ 17, 2017 4:32 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Nice

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Απρ 14, 2017 12:10 am

Για το 1.

f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0\Leftrightarrow f^2(x)+2\frac{x}{2}f(x)+\left ( \frac{x}{2} \right )^2-\left ( \frac{x}{2} \right )^2+x^2-3=0\Leftrightarrow \\\\ \left ( f(x)+\frac{x}{2} \right )^2=3-x^2+\left ( \frac{x}{2} \right )^2\Leftrightarrow \left ( f(x) +\frac{x}{2}\right )^2=\frac{12-3x^2}{4}

όπου 12-3x^2\geq 0\Leftrightarrow \left | x \right |\leq 2\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2

άρα
\left | f(x) +\frac{x}{2}\right |=\frac{\sqrt{12-3x^2}}{2}\Leftrightarrow \\\\ f(x)=\frac{\sqrt{12-3x^2}}{2}-\frac{x}{2}
ή
f(x)=-\frac{\sqrt{12-3x^2}}{2}-\frac{x}{2}

Όμως f(0)=\sqrt{3}\Rightarrow f(x)=\frac{\sqrt{12-3x^2}-x}{2}
με D_f=[-2,2]

2. f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0\Leftrightarrow 2f(x)f'(x)+f(x)+xf'(x)+2x=0\Leftrightarrow \\\\f'(x)\left [ 2f(x)+x \right ]=-2x-f(x)\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{2x+f(x)}{2f(x)+x}(*) όπου
(*)
\\2f(x)+x\neq 0\Leftrightarrow 2\frac{\sqrt{12-3x^2}-x}{2}+x\neq 0\Leftrightarrow x\neq -2 και x\neq 2 (1)

και
f''(x)\left [ 2f(x)+x \right ]+f'(x)[2f'(x)+1]=-2-f'(x)\Leftrightarrow \\\\ f''(x)=-\frac{[f'(x)]^2+f'(x)+1}{2f'(x)+x}(2)

f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{12-3x^2}-x}{2}+2x=0\Leftrightarrow \sqrt{12-3x^2}-x+4x=0\Leftrightarrow \\\\\sqrt{12-3x^2}=-3x
με x \leq 0\\\\ οπότε

\sqrt{12-3x^2}=-3x\Leftrightarrow 12-3x^2=9x^2\Leftrightarrow \left | x \right |=1 (**x\leq 0)\Leftrightarrow \Leftrightarrow x=-1
με f(-1)=1

Από τη σχέση (2) συνάγεται ότι f''(x) \neq 0 καθώς το τριώνυμο [f'(x)]^2+f'(x)+1 διατηρεί σταθερό πρόσημο θετικό, έχοντας \Delta=-3 \leq 0 επομένως η f(x) δεν παρουσιάζει σημεία καμπής.

Σημείωση Στο κλάσμα της f''(x) παίρνουμε περιορισμό 2f'(x)+x \neq 0 \Leftrightarrow....\Leftrightarrow x \neq 0 και x \neq 4 εκτός και αν έχω κάνει κάποιο υπολογιστικό λάθος

Τα υπόλοιπα αύριο


kfd
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Nice

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Απρ 14, 2017 8:56 am

Πρέπει να βρεθεί η f και στα (-\infty ,-2),(2,+\infty )


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Nice

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Απρ 14, 2017 9:12 am

Για την ασύμπτωτη, διαιρούμε τη δοθείσα σχέση με x^2

f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0\Leftrightarrow \frac{f^2(x)}{x^2}+\frac{xf(x)}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}=0\Leftrightarrow \left ( \frac{f(x)}{x^2} \right )^2+\frac{f(x)}{x}+1-\frac{3}{x^2}=0

Θέτοντας \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=y
προκύπτει y^2+y+1=0 (3)

καθώς \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3}{x^2}=0
Η εξίσωση όμως y^2+y+1=0 είναι αδύνατη επομένως δεν υπαρχει πλάγια ασύμπτωτη για την f(x) , όταν x\rightarrow \infty


kfd
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Nice

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Απρ 14, 2017 9:37 am

f(-1)=2


kfd
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Nice

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Απρ 14, 2017 9:57 am

Mε ΠΟ το [-2,2]
πλάγια ασύμπτωτη;


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Nice

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Απρ 14, 2017 9:58 am

kfd έγραψε:Πρέπει να βρεθεί η f και στα (-\infty ,-2),(2,+\infty )
Θεωρούμε την παράσταση x^2+xf(x)+f^2(x)-3=0
Για να έχει x \in R θα πρέπει \Delta = f^2(x)-4(f^2(x)-3)\geq 0 \\\Leftrightarrow 12-3f^2(x) \geq 0 \\\Leftrightarrow f^2(x) \leq 4 \Leftrightarrow -2 \leq f(x) \leq 2

Αν πάλι θεωρηθεί δευτεροβάθμια ως προς f^2(x) καταλήγουμε ότι -2 \leq x\leq 2 έτσι ώστε f(x) \in R


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Nice

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Απρ 14, 2017 10:05 am

kfd έγραψε:Mε ΠΟ το [-2,2]
πλάγια ασύμπτωτη;
αν βρούμε ένα τρόπο να ορίσουμε πλάγια ασύμπτωη όχι ως y=lx+k με l= 
\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{x} να το συζητήσουμε
Δίνω μια λύση απαντώντας στα ερωτήματα . Και μένα με εντυπωσίασε η αναζήτηση πλάγιας ασύμπτωτης αλλά επειδή τα Μαθηματικά είναι απέραντα , δίνω τη λύση αναμένοντας και την θέση του θεματοδότη
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Παρ Απρ 14, 2017 10:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


kfd
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Nice

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Απρ 14, 2017 10:06 am

f:\Re \rightarrow \Re


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Nice

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Απρ 14, 2017 12:15 pm

Δεν ορίζεται η παραπάνω συνάρτηση γενικά στο \displaystyle{R}, πράγματι αν συνέβαινε αυτό τότε:

\displaystyle{|{x_o}| > 2 \Rightarrow {f^2}\left( {{x_0}} \right) + {x_0}f\left( {{x_0}} \right) + {x_0}^2 - 3 = 0 \Rightarrow {\left( {f({x_0}) - \frac{{{x_0}}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\left( {4 - {x_0}^2} \right) = \frac{3}{4}\left( {4 - |{x_0}{|^2}} \right) < 0}, άτοπο.

δεν έχει νόημα λοιπόν η αναζήτηση
kfd έγραψε:Πρέπει να βρεθεί η f και στα (-\infty ,-2),(2,+\infty )
καθώς και
kfd έγραψε:Mε ΠΟ το [-2,2]
πλάγια ασύμπτωτη;
Δηλαδή το θέμα δέχεται πολλών διευκρινήσεων τόσο στα δεδομένα όσο και στα ζητούμενα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
kfd
Δημοσιεύσεις: 111
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Nice

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Απρ 14, 2017 3:04 pm

Nα βρεθεί το ευρύτερο διάστημα του \Re
καθώς και ο τύπος της συνάρτησης που ορίζεται από την ισότητα.... . Επίσης να φύγει η ερώτηση για ασύμπτωτο.


Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Nice

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Απρ 17, 2017 4:33 pm

Τωρα που περίοριστηκε η συνάρτηση τα υπόλοιπα κυλάνε ομαλά.Η ασύμπτωτη αφαιρέθηκε ως μη έχουσα νόημα.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Nice

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Απρ 19, 2017 4:20 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η δις παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [-2,2] \to R ώστε \displaystyle{f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0, f(0)=\sqrt{3}}

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Αν το a είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης να βρεθεί η τιμή του

3) Να δειχθεί οτι η C_f δεν έχει σημείο καμπής

4) \displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( f^2(x)+xf(x) \right )^2dx}

5) Να σχεδιαστεί η C_f
Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά! Μια προσπάθεια... λίγο διαφορετικά από τα προηγούμενα, για το 1 και μετά για τα υπόλοιπα.
1) Έστω η συνάρτηση y=f(x) . Από την δοθείσα προκύπτει η : y^2 + xy +x^2 - 3 = 0 ,
δευτεροβάθμια ως προς x .
Πρέπει \Delta \geq 0 \Leftrightarrow -2\leq x \leq 2 .
Άρα για x \in [-2,2] είναι: y_{1,2}= \dfrac{-x\pm\sqrt{3(4-x^2)}}{2} \Leftrightarrow
\left ( y+ \dfrac{x}{2} \right )^2= \dfrac{3(4-x^2)}{4}\Leftrightarrow \left ( f(x)+ \dfrac{x}{2} \right )^2= \dfrac{3(4-x^2)}{4}\Leftrightarrow \left | f(x) + \dfrac{x}{2} \right |= \dfrac{\sqrt{3(4-x^2)}}{2} .
Θεωρώ την g(x) = f(x)+ \dfrac{x}{2} .
Λύνω την εξίσωση g(x) = 0  \Leftrightarrow  g^2(x)=0  \Leftrightarrow  4-x^2 = 0  \Leftrightarrow  x= \pm 2 .
Άρα g(x)\neq 0 ,\,\,\ x\in (-2,2) και αφού η g είναι συνεχής συμπεραίνουμε ότι διατηρεί πρόσημο
στο (-2, 2) . Όμως g(0) = f(0) =\sqrt{3}>0. Άρα g(x)= \dfrac{\sqrt{3(4-x^2)}}{2},
οπότε: f(x)=- \dfrac{x}{2} + \dfrac{   \sqrt{3(4-x^2)}}{2} , με πεδίο ορισμού A= [-2,2]

5) Πηγαίνοντας λίγο ... ανάποδα η f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)= -\dfrac{1}{2}\left ( 1+\dfrac{3x}{\sqrt{3(4-x^2)}} \right ) = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3(4-x^2)}+3x}{\sqrt{3(4-x^2)}} .
Λύνω την ανίσωση : \sqrt{3(4-x^2)}+3x \geq 0 \Leftrightarrow  \sqrt{3(4-x^2)} \geq -3x (1)
Για x \in (0, 2] η (1) ισχύει.
Για x \in [-2, 0] η (1) ισοδυνάμως γράφεται : 3(4-x^2) \geq 9 x^2 \Leftrightarrow -1\leq x \leq 1.
Άρα για x \in (-1, 2) είναι: \sqrt{3(4-x^2)}+3x > 0 , οπότε f'(x)<0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1,2] .
Επίσης για x \in (-2, 1) είναι: f'(x)>0 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [-2,1] .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f παρουσιάζει στο -1 ολικό μέγιστο το f(-1)=2 .

Επιπλέον αφού f(-2)=1 και η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [-2,-1] συμπεραίνουμε ότι f([-2,-1])=[1,2]
και αφού f(2)= - 1 , η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [-1,2] ,συμπεραίνουμε ότι f([-1,2])=[-1,2].

Ακόμη έχουμε ότι η f' είναι παραγωγίσιμη με f''(x)= -\dfrac{6}{(4-x^2) \sqrt{3(4-x^2)}} .
Άρα f''(x)<0, οπότε η f είναι κοίλη.
Η γραφική της παράσταση φαίνεται παρακάτω.
Nice.png
Nice.png (3.67 KiB) Προβλήθηκε 1430 φορές
4)Αν I = \displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( f^2(x)+xf(x) \right )^2dx} από την δοθείσα προκύπτει:
I = \displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( 3-x^2\right )^2dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( 9-6x^2 +x^4 \right )dx  =  ...

Τώρα εύκολα προκύπτει ότι για a=-1 έχουμε ότι το a είναι κρίσιμο σημείο και μάλιστα θέση ακροτάτου
καθώς επίσης ότι η f δεν παρουσιάζει σημεία καμπής αφού είναι κοίλη.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης