Γενική

erxmer · #1

Δίνεται παραγωγίσισμη συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε $f^3(x)+f(x)+1=x, x \in R$ .

1) Αποδείξτε οτι είναι γνήσια αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο της

2) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής

3) Να αποδειχθεί οτι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της

4) Δείξτε οτι $\displaystyle{4\left ( f(x)-f^{-1}(0) \right ) \leq x-f^{-1}(0), x \geq 1}$

5) $\displaystyle{\frac{f(x)-2}{x-11}>\frac{3-f(x)}{31-x}, x \in (11,31)}$ , $\displaystyle{\int_{20}^{22}f(x)dx>5}$

jalex · #2

Μια προσπάθεια επίλυσης.

(1) Για κάθε $\displaystyle{x \in \msthbb{R}}$ έχουμε:
$\displaystyle{f^3(x) + f(x) + 1 = x \Rightarrow 3f^2(x)f'(x) + f'(x) = 1 \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{3f^2(x) + 1} > 0}$ .
Έπεται ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .
Επίσης, αν στη δοσμένη σχέση θέσουμε $\displaystyle{x = 1}$ προκύπτει ότι:
$\displaystyle{f^3(1) + f(1) + 1 = 1 \Rightarrow f^3(1) + f(1) = 0 \Rightarrow f(1) = 0}$ .
Τότε, αφού η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει ότι:

για $\displaystyle{x > 1}$ είναι $\displaystyle{f(x) > f(1) \Rightarrow f(x) > 0}$
για $\displaystyle{x < 1}$ είναι $\displaystyle{f(x) < f(1) \Rightarrow f(x) < 0}$

(2) Για κάθε $\displaystyle{x \in \msthbb{R}}$ έχουμε $\displaystyle{f''(x) = -\dfrac{6f(x)f'(x)}{\big[ 3f^2(x) + 1 \big]^2}}$ . Τότε:

$\displaystyle{f''(x) = 0 \iff f(x) = 0 \iff x = 1}$
$\displaystyle{f''(x) > 0 \iff f(x) < 0 \iff x < 1}$
$\displaystyle{f''(x) < 0 \iff f(x) > 0 \iff x > 1}$

Έπεται ότι η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο διάστημα $\displaystyle{(-\infty,1]}$ και κοίλη στο διάστημα $\displaystyle{[1,+\infty)}$ , οπότε παρουσιάζει σημείο καμπής στη θέση $\displaystyle{x = 1}$ το $\displaystyle{f(1) = 0}$ .
(5) Η $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα $\displaystyle{[11,x]}$ και $\displaystyle{[x,31]}$ οπότε υπάρχουν $\displaystyle{\xi_1 \in (1,x)}$ και $\displaystyle{\xi_2 \in (x,31)}$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{f'(\xi_1) = \dfrac{f(x) - f(11)}{x - 11}}$ και $\displaystyle{f'(\xi_2) = \dfrac{f(31) - f(x)}{31 - x}}$ .
Όμως από τη δοσμένη σχέση:

για $\displaystyle{x = 11}$ είναι $\displaystyle{f^3(11) + f(11) + 1 = 11 \iff f^3(11) + f(11) - 10 = 0 \iff f(11) = 2}$
για $\displaystyle{x = 31}$ είναι $\displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(31) = 3}$

Άρα:
$\displaystyle{f'(\xi_1) = \dfrac{f(x) - 2}{x - 11}}$ και $\displaystyle{f'(\xi_2) = \dfrac{3 - f(x)}{31 - x}}$ .
Τέλος, επειδή στο διάστημα $\displaystyle{[1,+\infty)}$ ισχύει $\displaystyle{f''}$ έπεται ότι η $\displaystyle{f'}$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα:
$\displaystyle{\xi_1 < \xi_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \Rightarrow \dfrac{f(x) - 2}{x - 11} > \dfrac{3 - f(x)}{31 - x}}$ .
Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχουμε:
$\displaystyle{\dfrac{f(x) - 2}{x - 11} > \dfrac{3 - f(x)}{31 - x} \Rightarrow (31 - x)\big[ f(x) - 2 \big] > (x - 11)\big[ 3 - f(x) \big] \Rightarrow 20f(x) < x + 29}.$
Άρα:
$\displaystyle{\int_{20}^{22}f(x)dx < \int_{20}^{22}\dfrac{x - 29}{20}dx \Rightarrow \int_{20}^{22}f(x)dx < \dfrac{\left[ \dfrac{x^2}{2} - 29x \right]_{20}^{22}}{20} \Rightarrow \int_{20}^{22}f(x)dx < 5.$

ΥΓ.
(α) Στο ερώτημα (3) να υποθέσω ότι ζητάει τον τύπο της $\displaystyle{f^{-1}}$ ;
(β) Το ερώτημα (4) δεν μπορώ να το λύσω.

Ratio · #3

[quote="jalex"]Μια προσπάθεια επίλυσης.

$\displaystyle{x = 31}$ είναι $\displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}$

Μάλλον εννοείτε f(31)=3

Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
$f^3(x)+f(x)=x-1 \Leftrightarrow f(x)[f^2(x)+1)]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^2(x)+1}$

και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας

Για τον τύπο: Θέτουμε f(x)=y

και
$y^3+y+1=x \Leftrightarrow f^{-1}(x)=x^3+x+1$ αφού ισχύει για κάθε $x \in R$

jalex · #4

Ratio έγραψε:
jalex έγραψε:Μια προσπάθεια επίλυσης.

$\displaystyle{x = 31}$ είναι $\displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}$
Μάλλον εννοείτε

Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.

Ratio έγραψε:Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
$f^3(x)+f(x)=x-1 \Leftrightarrow f(x)[f^2(x)+1)]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^2(x)+1}$

και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας

Το έχω σκεφτεί αλλά δεν μπορώ να προχωρήσω.

Ratio · #5

jalex έγραψε:
Ratio έγραψε:
jalex έγραψε:Μια προσπάθεια επίλυσης.

$\displaystyle{x = 31}$ είναι $\displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}$
Μάλλον εννοείτε
Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.

Ratio έγραψε:Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
$f^3(x)+f(x)=x-1 \Leftrightarrow f(x)[f^2(x)+1)]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^2(x)+1}$

και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Το έχω σκεφτεί αλλά δεν μπορώ να προχωρήσω.

θεωρούμε συνάρτηση $g(x)=4f(x)-4f^{-1}(0)-x+f^{-1}(0)\Leftrightarrow g(x)=4f(x)-x-3$
Είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ώς πράξη συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων
$g'(x)=4f'(x)-1=4\frac{1}{3f^2(x)+1}-1=\frac{4}{3f^2(x)+1}-1\Leftrightarrow \\\\g'(x)=\frac{3-3f^2(x)}{3f^2(x)+1}\Leftrightarrow g'(x)=\frac{3(1-f(x))(1+f(x))}{3f^2(x)+1}$

sot arm · #6

Βάζω την λύση μου για το 4) θέτω στην αρχική x=3

και έχω:
$\displaystyle{f^{3}(3)+f(3)-2=0\Leftrightarrow f^{3}(3)-1+f(3)-1=0\Leftrightarrow (f(3)-1)(f^{2}(3)+f(3)+2)=0 \Leftrightarrow f(3)=1}$
Η δεξιά παρένθεση είναι θετική πάντα, θέλει λίγη αιτιολόγηση αλλά το αφήνω ως απλό.Επίσης:
$\displaystyle{f'(3)=\frac{1}{3f^{2}(3)+1}=\frac{1}{4}}$
Η f είναι κοίλη για κάθε χ μεγαλύτερο ή ίσο του 1 άρα βρίσκεται <<κάτω>> από την εφαπτομένη στο (3,1)

συνεπώς:
$\displaystyle{f(x)\leq f'(3)(x-3)+f(3)\Leftrightarrow 4f(x)-4\leq x-3\leq x-1\Leftrightarrow 4(f(x)-f^{-1}(0))\leq x-f^{-1}(0)}$
Τώρα ή χάνω κάτι ή λείπει ένα 3 στην εκφώνηση, αφού η ισότητα δεν πιάνεται...

Γενική

Γενική

Re: Γενική

Re: Γενική

Re: Γενική

Re: Γενική

Re: Γενική

Μέλη σε σύνδεση