Γενική
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Γενική
Δίνεται παραγωγίσισμη συνάρτηση ώστε .
1) Αποδείξτε οτι είναι γνήσια αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο της
2) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
3) Να αποδειχθεί οτι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της
4) Δείξτε οτι
5) ,
1) Αποδείξτε οτι είναι γνήσια αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο της
2) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
3) Να αποδειχθεί οτι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της
4) Δείξτε οτι
5) ,
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Γενική
Μια προσπάθεια επίλυσης.
(1) Για κάθε έχουμε:
.
Έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επίσης, αν στη δοσμένη σχέση θέσουμε προκύπτει ότι:
.
Τότε, αφού η είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει ότι:
(5) Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα και οπότε υπάρχουν και τέτοια ώστε:
και .
Όμως από τη δοσμένη σχέση:
και .
Τέλος, επειδή στο διάστημα ισχύει έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα, άρα:
.
Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχουμε:
Άρα:
ΥΓ.
(α) Στο ερώτημα (3) να υποθέσω ότι ζητάει τον τύπο της ;
(β) Το ερώτημα (4) δεν μπορώ να το λύσω.
(1) Για κάθε έχουμε:
.
Έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επίσης, αν στη δοσμένη σχέση θέσουμε προκύπτει ότι:
.
Τότε, αφού η είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει ότι:
- για είναι
για είναι
(5) Η ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα και οπότε υπάρχουν και τέτοια ώστε:
και .
Όμως από τη δοσμένη σχέση:
- για είναι
για είναι
και .
Τέλος, επειδή στο διάστημα ισχύει έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα, άρα:
.
Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχουμε:
Άρα:
ΥΓ.
(α) Στο ερώτημα (3) να υποθέσω ότι ζητάει τον τύπο της ;
(β) Το ερώτημα (4) δεν μπορώ να το λύσω.
τελευταία επεξεργασία από jalex σε Τετ Μάιος 03, 2017 3:11 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Γενική
[quote="jalex"]Μια προσπάθεια επίλυσης.
είναι
Μάλλον εννοείτε
Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Για τον τύπο: Θέτουμε και
αφού ισχύει για κάθε
είναι
Μάλλον εννοείτε
Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Για τον τύπο: Θέτουμε και
αφού ισχύει για κάθε
Re: Γενική
Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.Ratio έγραψε:Μάλλον εννοείτεjalex έγραψε:Μια προσπάθεια επίλυσης.
είναι
Το έχω σκεφτεί αλλά δεν μπορώ να προχωρήσω.Ratio έγραψε:Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Re: Γενική
θεωρούμε συνάρτησηjalex έγραψε:Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.Ratio έγραψε:Μάλλον εννοείτεjalex έγραψε:Μια προσπάθεια επίλυσης.
είναι
Το έχω σκεφτεί αλλά δεν μπορώ να προχωρήσω.Ratio έγραψε:Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ώς πράξη συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων
Re: Γενική
Βάζω την λύση μου για το 4) θέτω στην αρχική και έχω:
Η δεξιά παρένθεση είναι θετική πάντα, θέλει λίγη αιτιολόγηση αλλά το αφήνω ως απλό.Επίσης:
Η f είναι κοίλη για κάθε χ μεγαλύτερο ή ίσο του 1 άρα βρίσκεται <<κάτω>> από την εφαπτομένη στο συνεπώς:
Τώρα ή χάνω κάτι ή λείπει ένα 3 στην εκφώνηση, αφού η ισότητα δεν πιάνεται...
Η δεξιά παρένθεση είναι θετική πάντα, θέλει λίγη αιτιολόγηση αλλά το αφήνω ως απλό.Επίσης:
Η f είναι κοίλη για κάθε χ μεγαλύτερο ή ίσο του 1 άρα βρίσκεται <<κάτω>> από την εφαπτομένη στο συνεπώς:
Τώρα ή χάνω κάτι ή λείπει ένα 3 στην εκφώνηση, αφού η ισότητα δεν πιάνεται...
Αρμενιάκος Σωτήρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες