Εξυπνη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Εξυπνη
Δίνεται η
με
1)Να δείξετε ότι η παίρνει ολικό ελάχιστο
σε τρία ακριβώς σημεία τα οποία και να βρείτε
2)Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
και γνησίως φθίνουσα στο
3))Να δείξετε ότι η έχει ακριβώς δύο τοπικά μέγιστα.
4)Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες
5)Αν να δείξετε ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον έξι ρίζες.
6)Να δείξετε ότι
Σημείωση.Θεωρήστε γνωστό ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού έχει το πολύ ρίζες.
με
1)Να δείξετε ότι η παίρνει ολικό ελάχιστο
σε τρία ακριβώς σημεία τα οποία και να βρείτε
2)Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
και γνησίως φθίνουσα στο
3))Να δείξετε ότι η έχει ακριβώς δύο τοπικά μέγιστα.
4)Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες
5)Αν να δείξετε ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον έξι ρίζες.
6)Να δείξετε ότι
Σημείωση.Θεωρήστε γνωστό ότι κάθε πολυώνυμο βαθμού έχει το πολύ ρίζες.
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Εξυπνη
Το α) είναι προφανές.
β,γ) Είναι και το τριώνυμο έχει τις ρίζες οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι και το πρόσημο είναι εναλλάξ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα
δ) Η είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.
ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.
στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της (που είναι επίσης άμεση) στο
β,γ) Είναι και το τριώνυμο έχει τις ρίζες οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι και το πρόσημο είναι εναλλάξ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα
δ) Η είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.
ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.
στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της (που είναι επίσης άμεση) στο
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εξυπνη
matha έγραψε:Το α) είναι προφανές.
β,γ) Είναι και το τριώνυμο έχει τις ρίζες οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι και το πρόσημο είναι εναλλάξ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα
δ) Η είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.
ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.
στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της (που είναι επίσης άμεση) στο
Ωραία Θάνο.
Τα ερωτήματα 2,3,4,5. μπορούν να εξαχθούν χωρίς υπολογισμό της παραγώγου.
Αν δεν γραφεί τέτοια λύση θα την γράψω.
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Εξυπνη
Καλησπέρα Σταύρο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:matha έγραψε:Το α) είναι προφανές.
β,γ) Είναι και το τριώνυμο έχει τις ρίζες οπότε η διάταξη των ριζών της παραγώγου είναι και το πρόσημο είναι εναλλάξ ξεκινώντας από το τέρμα δεξία διάστημα
δ) Η είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού και έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες (αφού το έχει πέντε ρίζες). Άρα έχει ακριβώς τέσσερις ρίζες.
ε) Βρίσκοντας, κατά τα γνωστά, τα σύνολα τιμών της συνάρτησης στα επι μέρους διαστήματα, βλέπουμε ότι αν η εξίσωση σε κάθε 'ένα διάστημα έχει ακριβώς μια ρίζα, άρα συνολικά ακριβώς έξι.
στ) Προκύπτει άμεσα με ολοκλήρωση της (που είναι επίσης άμεση) στο
Ωραία Θάνο.
Τα ερωτήματα 2,3,4,5. μπορούν να εξαχθούν χωρίς υπολογισμό της παραγώγου.
Αν δεν γραφεί τέτοια λύση θα την γράψω.
Μήπως για το β) εννοείς να πάμε με τον ορισμό;
Δηλαδή με (1)
Επίσης με (2)
Τέλος με (3)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (1),(2) και (3) έχουμε :
με .
Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Τώρα με (4)
Επίσης με (5)
Και με (6)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (1),(2) και (3) έχουμε :
με .
Συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Εξυπνη
...Συνεχίζοντας για το 3) σκέφτομαι τα εξής :
Έχει αποδειχθεί από το 1) ότι η παρουσιάζει στα σημεία : ολικό ελάχιστο το .
Γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής στο .
Επομένως από το θεώρημα Μεγίστης- Ελαχίστης Τιμής συμπεραίνουμε ότι η μη σταθερή παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο .
Έστω ότι υπάρχουν δύο τιμές στις οποίες η παρουσιάζει μέγιστο.
Τότε πάλι από το θεώρημα Μεγίστης- Ελαχίστης Τιμής συμπεραίνουμε ότι η μη σταθερή παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο . Άτοπο, διότι μεταξύ των δεν υπάρχει άλλο ελάχιστο.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και μεταξύ των υπάρχει ακριβώς ένα μέγιστο.
Άρα αποδείξαμε ότι η παρουσιάζει ακριβώς δύο τοπικά μέγιστα στα . Το ένα στο διάστημα και το άλλο στο .
4) Εφαρμόζοντας τέσσερεις φορές Θεώρημα Rolle στα διαστήματα : για την συνάρτηση προκύπτει το ζητούμενο.
Με συγχωρείτε ... ξέχασα!
Το Rolle εφαρμόζεται διότι από το Θεώρημα Fermat ισχύει :
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Έχει αποδειχθεί από το 1) ότι η παρουσιάζει στα σημεία : ολικό ελάχιστο το .
Γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής στο .
Επομένως από το θεώρημα Μεγίστης- Ελαχίστης Τιμής συμπεραίνουμε ότι η μη σταθερή παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο .
Έστω ότι υπάρχουν δύο τιμές στις οποίες η παρουσιάζει μέγιστο.
Τότε πάλι από το θεώρημα Μεγίστης- Ελαχίστης Τιμής συμπεραίνουμε ότι η μη σταθερή παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο . Άτοπο, διότι μεταξύ των δεν υπάρχει άλλο ελάχιστο.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και μεταξύ των υπάρχει ακριβώς ένα μέγιστο.
Άρα αποδείξαμε ότι η παρουσιάζει ακριβώς δύο τοπικά μέγιστα στα . Το ένα στο διάστημα και το άλλο στο .
4) Εφαρμόζοντας τέσσερεις φορές Θεώρημα Rolle στα διαστήματα : για την συνάρτηση προκύπτει το ζητούμενο.
Με συγχωρείτε ... ξέχασα!
Το Rolle εφαρμόζεται διότι από το Θεώρημα Fermat ισχύει :
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εξυπνη
Γεια σου Σταμάτη.
Αυτά που έκανες εννοούσα.
Μόνο που στο 3) μπορούμε να πάμε πιο εύκολα και ως εξής.
Εχει δυο τοπικά μέγιστα στα
Επειδή η έχει το πολύ ρίζες και σίγουρα
τα σημεία που παίρνει τοπικό μέγιστο και αυτά που παίρνει ολικό ελάχιστο
είναι ρίζες είναι ακριβώς αυτά.
Μένει το 5)
Αυτά που έκανες εννοούσα.
Μόνο που στο 3) μπορούμε να πάμε πιο εύκολα και ως εξής.
Εχει δυο τοπικά μέγιστα στα
Επειδή η έχει το πολύ ρίζες και σίγουρα
τα σημεία που παίρνει τοπικό μέγιστο και αυτά που παίρνει ολικό ελάχιστο
είναι ρίζες είναι ακριβώς αυτά.
Μένει το 5)
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: Εξυπνη
Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Τα αντίθετα ισχύουν για πολυωνυμικές περιττού βαθμού. Αυτό καλύπτει 2 και 3.
Η δευτέρα παράγωγος έχει 4 ρίζες αφού η πρώτη έχει 5 στα ακρότατα. Δεν μπορεί να έχει περισσότερες λόγω βαθμού.Και το 5 γράφεται
Ο πρώτος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντίστοιχα επομένως έχει δυο ρίζες και μια τρεις.Ο δεύτερος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντιστοίχως. Άρα έχουμε άλλες τρεις.
Η δευτέρα παράγωγος έχει 4 ρίζες αφού η πρώτη έχει 5 στα ακρότατα. Δεν μπορεί να έχει περισσότερες λόγω βαθμού.Και το 5 γράφεται
Ο πρώτος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντίστοιχα επομένως έχει δυο ρίζες και μια τρεις.Ο δεύτερος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντιστοίχως. Άρα έχουμε άλλες τρεις.
τελευταία επεξεργασία από matha σε Τρί Μάιος 09, 2017 11:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση LaTeX.
Λόγος: Διόρθωση LaTeX.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εξυπνη
Το παραπάνω δεν είναι ακριβές.Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Τα αντίθετα ισχύουν για πολυωνυμικές περιττού βαθμού. Αυτό καλύπτει 2 και 3.
.
Για πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύει με την προυπόθεση
ότι το όριο στο να είναι
που φυσικά εδώ ισχύει.
Για πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού με το όριο στο να είναι
τα τοπικά ελάχιστα και τοπικά μέγιστα είναι του ίδιου πλήθους και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα μετά το
τελευταίο τοπικό ελάχιστο καθώς και πριν από το πρώτο τοπικό μέγιστο.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: Εξυπνη
κ Παπαδόπουλε ευχαριστώ για την παρατήρηση.Εν μέρει έχεις δίκαιο. Εχθές αργά στη βιασύνη μου να προλάβω επικείμενη δική σου απάντηση κάτι παρέλειψα και κάτι έγραψα λάθος. Τα ξαναγράφω σωστά με την επισήμανση ότι δεν επηρεάζουν την απόδειξη που έδωσα.
Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Αυτό καλύπτει 2 και 3. Για πολυωνυμικές του ιδίου τύπου περιττού βαθμού έχουμε τον ίδιο αριθμό ελαχίστων και μεγίστων.
Η δευτέρα παράγωγος έχει 4 ρίζες αφού η πρώτη έχει 5 στα ακρότατα. Δεν μπορεί να έχει περισσότερες λόγω βαθμού.
Το 5 γράφεται
Ο πρώτος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντίστοιχα επομένως έχει δυο ρίζες και μια τρεις.Ο δεύτερος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντιστοίχως. Άρα έχουμε άλλες τρεις.
Όσο για τα άπειρα νομίζω ότι πλέον δεν υπάρχει πρόβλημα.
ΠΚ
Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Αυτό καλύπτει 2 και 3. Για πολυωνυμικές του ιδίου τύπου περιττού βαθμού έχουμε τον ίδιο αριθμό ελαχίστων και μεγίστων.
Η δευτέρα παράγωγος έχει 4 ρίζες αφού η πρώτη έχει 5 στα ακρότατα. Δεν μπορεί να έχει περισσότερες λόγω βαθμού.
Το 5 γράφεται
Ο πρώτος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντίστοιχα επομένως έχει δυο ρίζες και μια τρεις.Ο δεύτερος παράγοντας έχει πρόσημο στις τιμές και αντιστοίχως. Άρα έχουμε άλλες τρεις.
Όσο για τα άπειρα νομίζω ότι πλέον δεν υπάρχει πρόβλημα.
ΠΚ
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εξυπνη
Νομίζω ότι πράγματι έχω εν μέρει δίκιο.Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:κ Παπαδόπουλε ευχαριστώ για την παρατήρηση.Εν μέρει έχεις δίκαιο. Εχθές αργά στη βιασύνη μου να προλάβω επικείμενη δική σου απάντηση κάτι παρέλειψα και κάτι έγραψα λάθος. Τα ξαναγράφω σωστά με την επισήμανση ότι δεν επηρεάζουν την απόδειξη που έδωσα.
Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση αρτίου βαθμού ισχύουν τα εξής: Τα ελάχιστα είναι κατά ένα περισσότερα των μεγίστων. Επίσης αριστερά του πρώτου ελαχίστου είναι φθίνουσα και δεξιά του τελευταίου αύξουσα. Αυτό καλύπτει 2 και 3. Για πολυωνυμικές του ιδίου τύπου περιττού βαθμού έχουμε τον ίδιο αριθμό ελαχίστων και μεγίστων.
ΠΚ
Για να είχα δίκιο έπρεπε να γράψω ότι είναι λάθος.
Τώρα που γράψατε και το σωστό φαίνεται η διαφορά του από το αρχικό.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εξυπνη
Γράφω την λύση μου για το 5 και να κλείσει.
Παρατηρούμε ότι
Εφαρμόζοντας Θ.Ε.Τ στα διαστήματα
έχουμε τουλάχιστον ρίζες.
Παρατηρούμε ότι
Εφαρμόζοντας Θ.Ε.Τ στα διαστήματα
έχουμε τουλάχιστον ρίζες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες