Εύρεση f

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Εύρεση f

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μαρ 08, 2010 1:44 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις... \color{red}\bf {f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}...,αν και μόνο αν για κάθε... \color{red}\bf{x,y,z \in \mathbb{R}}... με... \color{red}\bf{x-2y+z=0}

ισχύει... \color{red}\bf{f(x)-2f(y)+f(z)=0}


Φωτεινή Καλδή
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση f

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Μαρ 08, 2010 2:53 pm

Μια σκέψη:
Ας θέσουμε g(x)=f(x)-f(0). Tότε g(0)=0 και η g διατηρεί την ιδιότητα της f. Tότε για κάθε x, y στους πραγματικούς
g(x-y)+g(x+y)=2g(x) οπότε για x=y προκύπτει g(2x)=2g(x).
Ακόμα από την ιδιότητα της g g(2x)+g(2y)=2g(x+y) οπότε g(x)+g(y)=g(x+y). Δηλαδή η g είναι η συνάρτηση Cauchy. Άρα g(x)=ax, οπότε
f(x)=ax+b.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης