Εκτίμηση ρίζας και φράγμα ολοκληρώματος

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Μια προσωπική δημιουργία για όποιον ενδιαφέρετε.

Έστω συνάρτηση $f:[0,1]\rightarrow \Re$ , παραγωγίσιμη με γνησίως φθίνουσα παράγωγο και f(0)=f(1)=0

.

Αν ρ είναι τέτοιος, ώστε ${f}'(\rho )=0$ και ${f}'(1)\geq -2f(\rho )$ , να δείξετε ότι

$(a)\rho<\frac{1}{2}$ και

$(b)\int_{\rho }^{1}f(x)dx<f(\rho )\left ( \frac{3}{4} \right-\rho )$ .

#2

Μου άρεσε η άσκηση του Λάμπρου!

α) Επειδή η

είναι

άρα μηδενίζεται το πολύ σε ένα σημείο, κι αφού από το θεώρημα του Rolle για την

στο

παίρνουμε ότι η

μηδενίζεται σε ένα τουλάχιστον σημείο του (0,1)

, άρα η λύση αυτή είναι μοναδική κι έτσι είναι (από τα δεδομένα) το $\rho$ . Συνεπώς $\rho \in (0,1)$ .

Επίσης για $x<\rho$ παίρνουμε $f'(x)>f'(\rho)=0$ και για $x>\rho$ παίρνουμε $f'(x)<f'(\rho)=0$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,\rho]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[\rho, 1]$ και αφού f(0)=f(1)=0

άρα το ολικό ελάχιστο της

είναι το

. Άρα

για κάθε $x\in(0,1)$ .

Αφού η

είναι κοίλη άρα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο x_0=1

άρα

απ' όπου $f(\rho)<f'(1)(\rho -1 )\leq -2f(\rho)(\rho-1)$ κι έτσι αφού $f(\rho)>0$ άρα παίρνουμε το ζητούμενο.

β) Αφού $f(x)\geq 0$ στο $[\rho,1]$ , άρα το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{\rho}^{1}f(x)dx$ δείχνει το εμβαδό που περικλείεται από τη C_f

, τον άξονα x'x

και την κατακόρυφη ευθεία $x=\rho$ , το οποίο είναι μικρότερο από το εμβαδό του τραπεζίου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη στο $\rho$ (που είναι η οριζόντια ευθεία $y=\rho$ ) και την εφαπτομένη στο

(που έχει εξίσωση y=f'(1)(x-1)

). Αφού $\rho < 1$ άρα $f'(1)>f'(\rho)=0$ .

Αυτές οι ευθείες τέμνονται στο σημείο $A\left(\dfrac{f(\rho)}{f'(1)}+1, f(\rho)\right)$ κι έτσι το $\displaystyle\int_{\rho}^{1}f(x)dx$ είναι μικρότερο από το εμβαδό του τραπεζίου δηλαδή το

$\dfrac{\dfrac{f(\rho)}{f'(1)}+2(1-\rho)}{2}\cdot f(\rho)\stackrel{f'(1)<0}{\leq} \dfrac{-\dfrac{1}{2}+2(1-\rho)}{2}\cdot f(\rho) =\left(\dfrac{3}{4}-\rho\right)f(\rho)$

Αλέξανδρος

Λάμπρος Κατσάπας · #3

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 28, 2018 11:37 pm

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε ωραία! Έπιασες και την ιδέα!

Εκτίμηση ρίζας και φράγμα ολοκληρώματος

Εκτίμηση ρίζας και φράγμα ολοκληρώματος

Re: Εκτίμηση ρίζας και φράγμα ολοκληρώματος

Re: Εκτίμηση ρίζας και φράγμα ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση