Σύγκλιση ακολουθίας...

M.S.Vovos · #1

Έστω ο πραγματικός αριθμός $\mathrm{x}$ και η ακολουθία $\mathrm{\left ( a_{n} \right )}$ με τύπο $\displaystyle \mathrm{a_{n}=n\left ( \sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{x^{2}+1}}-1 \right )}$ , $\mathrm{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ . Ορίζουμε τη συνάρτηση $\mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\mathrm{f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n},\hspace{2mm}x\in \mathbb{R}}.}$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \mathrm{f(x)=\ln \left ( x^{2}+1 \right )}$ , $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ .

Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $\mathrm{f}$ που άγονται από το σημείο $\displaystyle \mathrm{A\left ( 0,\ln\frac{2}{e} \right )}$ .

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\mathrm{f}$ , τον άξονα $\mathrm{y΄y}$ και την ευθεία $\displaystyle \mathrm{(\varepsilon ):y=x+\ln \frac{2}{e}}$ , αν γνωρίζετε ότι $\displaystyle \mathrm{\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}+1}=\frac{\pi}{2}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 10, 2018 2:15 pm
Έστω ο πραγματικός αριθμός $\mathrm{x}$ και η ακολουθία $\mathrm{\left ( a_{n} \right )}$ με τύπο $\displaystyle \mathrm{a_{n}=n\left ( \sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{x^{2}+1}}-1 \right )}$ , $\mathrm{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$ . Ορίζουμε τη συνάρτηση $\mathrm{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\mathrm{f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n},\hspace{2mm}x\in \mathbb{R}}.}$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \mathrm{f(x)=\ln \left ( x^{2}+1 \right )}$ , $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ .

Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $\mathrm{f}$ που άγονται από το σημείο $\displaystyle \mathrm{A\left ( 0,\ln\frac{2}{e} \right )}$ .

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\mathrm{f}$ , τον άξονα $\mathrm{y΄y}$ και την ευθεία $\displaystyle \mathrm{(\varepsilon ):y=x+\ln \frac{2}{e}}$ , αν γνωρίζετε ότι $\displaystyle \mathrm{\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}+1}=\frac{\pi}{2}}$ .
Φιλικά,
Μάριος

(α) Αν θεωρήσουμε δεδομένο το όριο $\displaystyle{\log x = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} n \left( \sqrt[n]{a} -1 \right)}$ το οποίο έχουμε δει εδώ τότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα. Συνεπώς

$\displaystyle{\lim_{ n \rightarrow +\infty} n \left( \sqrt[n]{x^2+1} - 1 \right) = \log \left( x^2+ 1 \right)}$
(β) Οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της

που άγονται από το σημείο $\mathrm{A\left ( 0,\ln\frac{2}{e} \right )}$ είναι της μορφής

$\displaystyle{ \ln \frac{2}{e} - y_0 = f'(x_0) \left ( 0 - x_0 \right ) \Leftrightarrow -y_0 = -x_0 \cdot f'\left ( x_0 \right ) - \ln \frac{2}{e} \Leftrightarrow y_0 = x_0 \cdot f' \left(x_0 \right) + \ln \frac{2}{e}}$ Όμως το σημείο $(x_0, y_0) \in \mathcal{C}_f$ και οπότε $y_0 = \ln \left ( x_0^2+1 \right )$ . Οπότε καλούμαστε να λύσουμε την εξίσωση

$\displaystyle{\ln \left ( x_0^2+1 \right ) = \frac{2x_0^2}{x_0^2+1} + \ln \frac{2}{e}}$ Παραλλείπω τις πράξεις ( όποιος θέλει να τις συμπληρώσει be my guest ) αλλά από πάνω βγάζουμε $x= \pm 1$ . Άρα οι εφαπτομένες είναι οι ευθείες $y = x + \ln \frac{2}{e}$ και $y = \ln \frac{2}{e} - x$ .

(γ) Επειδή η

είναι κυρτή αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη θα είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της

με εξαίρεση το σημείο επαφής. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{1} \left ( f(x) - x + \ln \frac{2}{e} \right ) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{1} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x - \int_{0}^{1}\left ( x - \ln \frac{2}{e} \right ) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{1} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x - \frac{3}{2} + \log 2 \\ &=\left [ x\log \left ( x^2+1 \right ) \right ]_0^1 - 2\int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2+1} \, {\rm d}x - \frac{3}{2} + \log 2\\ &= \log 2 - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \, {\rm d}x - \frac{3}{2} + \log 2 \\ &= \log 2 - 2\int_{0}^{1} \left ( 1 - \frac{1}{x^2+1}\right ) \, {\rm d}x - \frac{3}{2} + \log 2 \\ &= \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4} + \log 2 \\ &= \frac{\pi}{2} + 2 \log 2 - \frac{11}{4} \\ &\sim 0.20709 \end{aligned}}$
Σημείωση: Το πρώτο ερώτημα το θεωρώ εκτός πνεύματος εξετάσεων αφού το όριο ακολουθίας ( και τι ακολουθίας εδώ ) γενικά δεν εξετάζεται παρόλο που εψιλοντός ορισμός είναι τυπικά μέσα στην ύλη. .... !! Δε θα θελα να δω κάτι τέτοιο στις εξετάσεις.

Σύγκλιση ακολουθίας...

Σύγκλιση ακολουθίας...

Re: Σύγκλιση ακολουθίας...

Μέλη σε σύνδεση