Με πολυώνυμο

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 826
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Με πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Μαρ 13, 2018 7:47 pm

Έστω το πολυώνυμο \mathrm{P} με πραγματικούς συντελεστές και το πολυώνυμο \mathrm{Q(x)=4x^{3}+6x^{2}+6x+2}. Αν για κάθε \mathrm{x\in \mathbb{R}} ισχύει \displaystyle{\mathrm{P(x)P'(x)P''(x)=Q(x)}} τότε:
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle \mathrm{P(x)=x^{2}+x+1 }, \mathrm{x\in \mathbb{R}}.
  • Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία, διαφορετικά μεταξύ τους, σημεία της γραφικής παράστασης του \mathrm{P} που να είναι συνευθειακά.
  • Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των \mathrm{P} και \mathrm{Q} και την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης του \mathrm{P} στο σημείο με τετμημένη \mathrm{-1}.
Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Στο τελευταίο ερώτημα μου φαίνεται ότι βγαίνουν εκτρωματικά νούμερα. (;)


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Με πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Μαρ 14, 2018 12:01 pm

Βλέπουμε οτι \displaystyle{deg(P)=2} άρα \displaystyle{P(x)=ax^2+bx+c} τότε \displaystyle{(ax^2+bx+c)(2ax+b)(2a)=4x^3+6x^2+6x+2}
Απο μεγιστοβαθμιους \displaystyle{a=1} , \displaystyle{P(0)=2bc=2} , \displaystyle{P(-1)=2(1-b+c)(b-2)=-2} και \displaystyle{P(1)=2(1+b+c)(b+2)=18} Βρισκουμε τα \displaystyle{b=c=1} άρα \displaystyle{p(x)=x^2+x+1}

To ερωτημα 2 εχει απαντηθεί στην εργασία μου ΓΕΩΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΝΘΚΕΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ στον εκθετη του Ν Μαυρογιαννη
Ωστόσο Αν \displaystyle{A,B,C} συνευθειακά σημεια της \displaystyle{C_f} θα πρεπει \displaystyle{l_{AB}=l_{BC}} ή \displaystyle{\frac{P(b)-P(a)}{b-a}=\frac{P(c)-P(b)}{c-b}} ή \displaystyle{P'(u)=P'(v)} ή από Rolle \displaystyle{P''(w)=0} που ειναι άτοπο

η εφαπτομενη της \displaystyle{P} στο \displaystyle{-1} είναι η \displaystyle{y=-x} και η τετμημενη της εφαπτομένης και του Q που είναι μάλλον απαραίτητη για τον υπολογισμο του εμβαδού χρειάζεται τους τύπους του CARDANO οπότε είναι εκτός φακέλλου


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Με πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μαρ 14, 2018 2:06 pm

Το δεύτερο ερώτημα μπορεί να εξασφαλιστεί και ως προς την οπτική γωνία της σχετική θέσης ευθείας και παραβολής./

Δηλαδή η εξίσωση \displaystyle P\left( x \right) = y,\left( {y = ax + b,a \in R} \right) είναι γνωστό ότι έχει το πολύ δύο λύσεις, ενώ το \displaystyle {y = P\left( x \right),x = {x_0},a \notin R} έχει μοναδική.

Πάντως Μάριε θα σε συγχαρώ για αυτήν σου την προσπάθεια που είναι πρωτότυπη και προσγειωμένη ως ένα σημείο όμως, γιατί στο τρίτο ερώτημα ζητάς πράγματα που ξεφεύγουν απο τον φάκελο και δεν είναι η πρώτη φορά που το κάνεις αυτό. Θα σου πρότεινα όταν δημιουργείς θέματα ανάλογου αυξημένου υπολογιστικού βάθους να τα βάζεις στον φάκελο του καθηγητή. Είτε να μπαίνεις στην διαδικασία μετά απο εύλογο χρονικό διάστημα να δίνεις μόνος σου τις απαντήσεις.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 826
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Με πολυώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Μαρ 14, 2018 7:13 pm

Χρήστο καλησπέρα. Έτσι είναι, το ανέφερα όμως ότι δεν πάει κάτι καλά με τα νούμερα. Να είμαστε όλοι καλά και μαζεύω μια συλλογούλα με ασκήσεις με τις λύσεις τους σε Latex. Το δώρο μου προς το :logo: για την φιλοξενία.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες